Reassurance

Source: David L. Goodstein: States of Matter, Dover Publications 2002.

A nested radical

The following nested radical was proposed by Srinivasa Ramanujan in [1].

A quick proof of this remarkable identity is the following:

As noted by Ramanujan himself [2], it can be generalized to a vast class of nested radicals, see [3].

References.
[1] S. Ramanujan, J. Indian Math. Soc. 3 (1911), p. 90
[2] S. Ramanujan, J. Indian Math. Soc. 4 (1912), p. 226
[3] K. Srinivasa Rao, G. Vanden Berghe: On an entry of Ramanujan in his Notebooks: a nested roots expansion, Journal of Computational and Applied Mathematics Volume 173, Issue 2, 15 (2005) 371-378, https://doi.org/10.1016/j.cam.2004.04.009

Images Credits: Cliff Pickover (@pickover) and Kai (@UnderAntares) on Twitter

Funzioni continue su sfere, I

Consideriamo la sfera unitaria $S^n \subset \mathbb{R}^{n+1}$ e una funzione continua $f \colon S^n \longrightarrow \mathbb{R}$. Allora esiste almeno una coppia di punti antipodali che assumono lo stesso valore; in altre parole, esiste almeno un punto $x \in S^n$ tale che $f(x) = f(-x)$.

Una semplice dimostrazione di questo fatto passa attraverso la funzione ausiliaria

$$g(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{|f(x)-f(-x)|}, $$ che assume valori in $\{-1, \, 1\}$. Se fosse $f(x) \neq f(-x)$ per ogni $x \in S^n$, la funzione $g$ sarebbe definita con continuità su tutta la sfera e si avrebbe $$g(-x)= \frac{f(-x)-f(x)}{|f(-x)-f(x)|}= -g(x).$$ Dunque si otterrebbe una funzione continua e suriettiva $g \colon S^n \longrightarrow \{-1, \, 1\}$, una contraddizione in quanto $S^n$ è uno spazio topologico connesso.

Vale in realtà un risultato più forte, noto come Teorema di Borsuk-Ulam [1, 2]: data ogni funzione continua $f \colon S^n \longrightarrow \mathbb{R}^n$, esiste almeno un punto $x \in S^n$ tale che $f(x) = f(-x)$. Il caso trattato sopra si ottiene da questo componendo $f \colon S^n \longrightarrow \mathbb{R}$ con un'inclusione continua $\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^n$.

Se si provasse a dimostrare Borsuk-Ulam per assurdo adattando l'argomento visto sopra, si otterrebbe una funzione continua e dispari $g \colon S^n ⟶ S^{n-1}$. Tale funzione in effetti non può esistere, ma la dimostrazione di questo fatto è più complessa e richiede alcuni concetti di Topologia Algebrica.

Una strada alternativa è quella di dimostrare Borsuk-Ulam attraverso un risultato di Combinatoria noto come Lemma di Tucker: la sitazione è analoga a quella che si ha con il Teorema del punto fisso di Brouwer, che può essere dimostrato sia per via (co)omologica che ricorrendo al Lemma di Sperner.

Il Teorema di Borsuk-Ulam sarà oggetto di uno dei prossimi post.

Riferimenti.

[1] K. Borsuk: Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre, Fundamenta Mathematicae 20 (1933), 177–190, doi:10.4064/fm-20-1-177-190

[2] J. Matoušek: Using the Borsuk–Ulam theorem, Springer Verlag 2003.

I am not dressed properly

Il matematico ungherese László Lovász aveva accettato di rilasciare un'intervista alla Eötvös Loránd University su alcuni aspetti del suo lavoro.

Durante il colloquio, la Segretaria Generale dell'Accademia Norvegese delle Scienze gli comunica inaspettatamente che gli è stato assegnato il premio Abel 2021, insieme ad Avi Wigderson, per i suoi profondi contributi alla Combinatoria e all'Informatica Teorica.

Stupito, Lovász riesce solo a dire: "Thank you, I am not dressed properly for this kind of situation."

Fonte: The Abel Prize's YouTube Channel.

Il teorema del punto fisso di Brouwer

Teorema. Sia $\mathbb{D}^{n+1}$ la palla chiusa di $\mathbb{R}^{n+1}$. Allora ogni funzione continua $f \colon  \mathbb{D}^{n+1} \longrightarrow \mathbb{D}^{n+1}$ ammette almeno un punto fisso, ossia esiste almeno un punto $x \in \mathbb{D}^{n+1}$ tale che $f(x)=x.$

Questo celebre ed importante risultato venne dimostrato per la prima volta (indipendentemente) da L. E. J. Brouwer e da J. Hadamard, vedi [1] e [2]. In generale, il punto fisso non è unico: si pensi ad una riflessione rispetto ad un iperpiano di simmetria della palla, che ha infiniti punti fissi. Vogliamo qui riprodurre la classica, breve dimostrazione del Teorema del punto fisso di Brouwer che fa uso di tecniche standard di Topologia Algebrica e che illustra la potenza degli argomenti di tipo funtoriale.

Supponiamo per assurdo che $f$ non ammetta punti fissi. Allora possiamo definire una funzione $r \colon  \mathbb{D}^{n+1} \longrightarrow S^n$, associando ad ogni punto $x \in \mathbb{D}^{n+1}$  l'intersezione col bordo della palla della semiretta uscente da $f(x)$ e contenente $x$.

La funzione $r$ è continua, dato che $f$ lo è, e per costruzione fissa tutti i punti del bordo. Si tratta dunque di una retrazione di $\mathbb{D}^{n+1}$ su $S^n$, ossia di un'applicazione continua $\mathbb{D}^{n+1} \longrightarrow S^n$ tale che la composizione con l'inclusione $$S^n \hookrightarrow \mathbb{D}^{n+1} \longrightarrow S^n$$ è l'identità di $S^n$. Ma una tale retrazione non può esistere. Infatti, passando in coomologia singolare e applicando il funtore $H^n(\quad, \, \mathbb{Z})$, si avrebbe che l'identità $$\mathbb{Z} \simeq H^n(S^n,  \, \mathbb{Z}) \longrightarrow H^n(S^n,  \, \mathbb{Z}) \simeq \mathbb{ℤ}$$ dovrebbe fattorizzare attraverso il gruppo $H^n(\mathbb{D}^{n+1}, \, \mathbb{Z})$. Siccome la palla è contraibile, tale gruppo è banale e quindi l'identità fattorizzerebbe attraverso un'applicazione costante, contraddizione.

Riferimenti.

[1] L. E. J. Brouwer: Über Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Mathematische Annalen 71: 97–115 (1911), doi:10.1007/BF01456931.

[2] J. Hadamard: Note sur quelques applications de l’indice de Kronecker in Jules Tannery: Introduction à la théorie des fonctions d’une variable (Volume 2), 2nd edition, A. Hermann & Fils, Paris 1910, pp. 437–477.

Old times

Before functoriality, people lived in caves.

- Attributed to Brian Conrad -

L'irrazionalità di $\cos 1$

Da un tweet di @fermatslibrary, una veloce dimostrazione che $\cos 1$ è irrazionale (gli angoli sono misurati in gradi).

Dalle usuali formule di addizione segue $$\cos(n+1) + \cos(n-1) = 2 \cos 1 \, \cos n$$ e quindi $\cos 2=2 \cos^2 1 - 1.$ Per induzione otteniamo che $\cos n$ è una espressione razionale in $\cos 1$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ e, quindi, $\cos 1$ non può essere razionale in quanto $\cos 30=\sqrt{3}/2$ non lo è.

Rigor

Besides, it is an error to believe that rigor in the proof is the enemy of simplicity. [...] The very effort for rigor forces us to find out simpler methods of proof.

Source: 

David Hilbert: Mathematical Problems, Lecture delivered before the International Congress of Mathematician at Paris in 1900. Bull. Amer. Math. Soc. Vol.8, No. 10 (1902), p. 441.

Insight

The purpose of computing is insight, not numbers.

Source: 
Richard Hamming: Numerical Methods for Scientists and Engineers, McGraw-Hill 1962, https://archive.org/details/numericalmethods0000hamm

L'identità di Simson

Consideriamo la ben nota successione di Fibonacci, definita per ricorrenza da $$F_0=0, \quad F_1=1, \quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} \;\;\text{per} \;\; n\geq 2. $$ Allora vale la relazione

$F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n$

 detta identità di Simson, vedi [1, p. 168]. 

Vogliamo qui presentare una elegante dimostrazione di questo risultato, che si basa su semplici considerazioni di algebra lineare. Considerata la matrice a coefficienti interi \begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 &0  \end{pmatrix}, \end{equation*} un semplice argomento per induzione mostra che per ogni $n \geq 1$ vale\begin{equation} \label{induzione} \tag{$\heartsuit$} A^n= \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n  & F_{n-1} \end{pmatrix}. \end{equation} Eguagliando i determinanti dei due termini in \eqref{induzione}, si ottiene  $$(-1)^n= (\det A)^n= \det A^n=F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2$$ che è l'identità cercata.

Riferimenti.
[1] H. S. M. Coxeter: Introduction to Geometry, Wiley 1961.

La cinghia di Möbius

Nel 1949, la B. F. Goodrich Company  brevettò una cinghia di trasmissione a forma di nastro di Möbius

A detta del suo inventore Owen H. Harris, essa si sarebbe usurata più lentamente di una cinghia tradizionale, dato che le sollecitazioni di attrito si sarebbero distribuite su una superficie doppia rispetto a quest'ultima.

Image credits: Fermat's Library on Twitter (@fermatslibrary)

The music of stars

Nel 1970, il radioastronomo Harold R. Craft discusse la sua tesi di dottorato Radio Observations of the Pulse Profiles and Dispersion Measures of Twelve Pulsars, che conteneva l'analisi dei dati per alcune pulsar raccolti dal radiotelescopio di Arecibo.

Nove anni dopo, uno dei diagrammi contenuti nella dissertazione di Craft (quello relativo a CP 1919) sarebbe diventato l'iconica copertina di Unknown Pleasures dei Joy Division.

Image credits: Scientific American

Proofs without words 3

Visual proof of the trigonometric identity

$$\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \pi$$

The Shepp-Logan phantom

Nel 1974, Larry Shepp e Benjamin Logan pubblicarono l'articolo [1], in cui introdussero quello che venne poi chiamato lo Shepp-Logan phantom.

Si tratta di una figura costituita da 10 ellissi in un quadrato, che somiglia vagamente alla sezione di un cervello umano e viene ancora oggi utilizzata per testare gli algoritmi di ricostruzione di immagini adoperati in ambito di diagnostica medica [2].

Fonte: Wikipedia

Riferimenti.

[1] L. Shepp., B. Logan: The Fourier Reconstruction of a Head Section, IEEE Transactions on Nuclear Science NS-21 (3): 21–43 (1974), doi:10.1109/TNS.1974.6499235

[2] http://www.mathisintheair.org/.../guardare-la-sorpresa.../

The sophomore dream

Johann Bernoulli's identity, known as the sophomore dream (1697).

References.

[1] Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, pp. 376–381

[2] William Dunham "3: The Bernoullis (Johann and $x^x$)", The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 46–51 (2005)

Matematica in prigione

Ci sono stati matematici, anche famosi, che svolsero parte del loro lavoro mentre si trovavano in prigione. Alcuni esempi sono i seguenti, per maggiori dettagli si veda l'interessante thread su HSM [1].

(1) Jean-Victor Poncelet partecipò come ingegnere militare alla campagna di Russia di Napoleone, nella quale fu fatto prigioniero (1812-1814). Durante la prigionia a Saratov, scrisse il suo "Traité des propriétés projectives des figures", che pose le basi della moderna Geometria Proiettiva.

(2) Bertrand Russell scrisse il celebre "Introduction to Mathematical Philosophy" nel 1918, mentre si trovava in prigione a Brixton per la sua attività pacifista e anti-militarista.

(3) André Weil completò il suo seminale lavoro sulla funzione zeta per curve algebriche su campi finiti nel 1940, mentre si trovava in arresto a Le Havre e poi a Rouen per renitenza alla leva. Una narrazione in prima persona di questi eventi può essere trovato nelle sue memorie Souvenirs d'apprendissage.

(4) Il matematico francese André Bloch venne rinchiuso in un ospedale psichiatrico nel 1917, dopo avere sterminato la sua famiglia (i motivi della strage non furono mai chiariti). Tutto il suo lavoro matematico, compreso quello sulla costante che oggi porta il suo nome, venne compiuto durante la detenzione in manicomio.

(5) Il lavoro in topologia di Jean Leray, che risultò fondamentale per lo sviluppo della teoria delle successioni spettrali, di quella dei fasci e in generale di tutta l'algebra omologica, fu compiuto in parte nel 1940-1945, mentre il matematico si trovava prigioniero nel campo di detenzione per prigionieri di guerra di Edelbach, in Austria. Come testimonianza, rimane un famoso "Course d’algèbre topologique enseigné en captivité" (viene da chiedersi cosa abbiano capito del corso i compagni di prigionia che lo seguirono).

Un esempio più recente si trova nell'interessante articolo su The Conversation [2]. Christopher Havens, condannato ad una pena di 25 anni per omicidio da scontarsi nella prigione di Washington, ha scoperto durante la sua prigionia la passione per la Matematica. Dopo aver studiato da autodidatta per qualche tempo (non era in possesso di un regolare diploma) è riuscito a contattare alcuni specialisti in teoria dei numeri, che lo hanno indirizzato su un problema di ricerca riguardante le frazioni continue. Il risultato è un lavoro sulla rivista Research in Number Theory [3], in cui Havens compare come primo nome. Questa è una cosa piuttosto inusuale in Matematica, disciplina dove generalmente gli autori sono elencati in ordine alfabetico.

Al momento Havens sta studiando per un diploma online, e spera di poter conseguire una laurea e poi un dottorato in Matematica una volta scontata la pena.

Riferimenti.

[1] https://hsm.stackexchange.com/.../what-are-some...

[2] https://theconversation.com/an-inmates-love-for-math...

[3] C. Havens, S. Barbero, U. Cerruti, N. Murru "Linear fractional transformations and nonlinear leaping convergents of some continued fractions", Research in Number Theory 6 (2020).

https://doi.org/10.1007/s40993-020-0187-5

Aree e perimetri

Un interessante problema di geometria elementare che recentemente è stato proposto sui social network  è quello di determinare tutti i triangoli aventi lati interi e la cui area è uguale al perimetro.

Innanzitutto, notiamo che senza la condizione che il triangolo sia eroniano (abbia, cioè, area e perimetro interi) vi sono infinite soluzioni. Infatti, indicando come d'abitudine l'area con $s$ e il semiperimetro con $p$, se $r$ è il raggio della circonferenza inscritta si ha $rp=s$, quindi la richiesta che l'area sia uguale al perimetro è equivalente a $r=2$, e vi sono evidentemente infiniti triangoli non congruenti circoscritti ad una circonferenza di raggio $2$.

La condizione che il triangolo sia eroniano è invece molto restrittiva e non è difficile mostrare che, sotto questa ipotesi, vi sono solo cinque soluzioni distinte. 

Infatti, chiamiamo $a, \, b, \, c$ le lunghezze dei lati del triangolo, e poniamo
\begin{equation} \label{eq}
a=x+y, \quad  b=x+z, \quad c=y+z
\end{equation}Allora il semiperimetro è $x+y+z$ e quindi, per l'ipotesi $s=2p$, l'area al quadrato è $4(x+y+z)^2$. La formula di Erone ora fornisce $$4(x+y+z)^2 =(x+y+z)xyz$$ ossia $4=xyz/(x+y+z)$. 

Siccome $x, \, y, \, z$ hanno somma a due a due positiva, al più uno di essi può essere negativo. Ma $x+y+z$ è il semiperimetro, che è positivo, dunque $4(x+y+z)=xyz$ implica che $xyz$ deve essere positivo. Segue che $x, \, y, \,z$ sono tutti positivi.

Inoltre, $x, \, y,  \,z$ devono essere interi. Infatti, la matrice del sistema lineare che esprime $a, \, b, \, c$ in termini di $x, \, y, \, z$ ha determinante $-2$ e quindi, per la regola di Cramer, $x, \, y, \, z$ sono interi o semi-interi. D'altra parte, siccome $a, \, b, \, c$ sono interi, le condizioni \eqref{eq} implicano che sono tutti e tre interi o tutti e tre semi-interi. Ora $xyz=4(x+y+z)$ mostra che $xyz$ è intero, dato che è uguale al semiperimetro $x+y+z$ moltiplicato per $4$, e quindi l'unica possibilità è che $x, \, y, \,z$ siano tutti e tre interi.

Senza ledere la generalità, possiamo supporre $x \leq  y \leq z$. Allora $$4=\frac{xyz}{(x+y+z)} \geq \frac{1}{3}xy$$ cioè $xy \leq 12$. Inoltre, siccome $$z=\frac{4(x+y)}{xy-4}$$ abbiamo l’ulteriore condizione $xy \geq 5$. 

Riassumendo, dobbiamo determinare le coppie di interi positivi $x, \, y$ tali che $5 ≤ xy ≤ 12$ e $xy-4$ divida $4(x+y)$. Una semplice analisi dei casi mostra che le possibilità per $(x, \, y, \, z)$ sono tutte e sole le seguenti: $$(1, \,5, \, 24), \; \; (1, \,  6, \, 14), \; \; (1, \, 8, \,  9), \; \; (2, \, 3, \, 10), \; \; (2,\,  4, \, 6)$$ che corrispondono, rispettivamente, ai seguenti valori per $(a, \, b, \, c)$: $$(6, \, 25, \, 29), \; \;  (7, \, 15, \, 20), \; \; (9, \, 10, \, 17), \; \; (5, \, 12, \, 13), \; \; (6, \, 8, \, 10).$$

È interessante notare che esattamente due fra questi sono triangoli rettangoli, ossia quelli di lati $(5, \, 12, \, 13)$ e $(6, \, 8, \, 10)$.

La spirale di Teodoro

Nel suo celebre dialogo Teeteto, Platone menziona la spirale di Teodoro di Cirene, una costruzione iterativa che permette di costruire segmenti di lunghezza $\sqrt{n}$ per ogni numero naturale $n$. 

Platone afferma che Teodoro la utilizzò per dimostrare l'irrazionalità di $\sqrt{n}$ per gli interi $n$ non quadrati perfetti fra $3$ e $17$. È significativo che non citi il caso $n=2$, probabilmente perché l'irrazionalità di $\sqrt{2}$ era un fatto dato per scontato già ai suoi tempi.

Si suppone che Teodoro si sia fermato a $\sqrt{17}$ in quanto $n=17$ è l'ultimo valore per il quale la figura non presenta sovrapposizioni. 

In [1] si possono trovare altre interessanti informazioni sulla spirale di Teodoro: ad esempio, come essa approssimi la spirale di Archimede quando n tende all'infinito [Hahn 2008] e come sia possibile interpolarla con una curva continua [Davis 2001, Gronau 2004, Waldvogel 2009].

Riferimenti

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Spiral_of_Theodorus

Eptadecagono, 1

Come è ben noto, Carl Friedrich Gauss dimostrò nel 1796, all'età di 19 anni, che il poligono regolare di 17 lati (eptadecagono) è costruibile con riga e compasso.

La moderna teoria delle estensioni dei campi mostra che ciò è equivalente al fatto che $\cos(2\pi/17)$ è un numero costruibile, ovvero appartiene ad una estensione di $\mathbb{Q}$ ottenuta come torre finita di estensioni quadratiche. 

L'espressione esplicita di $\cos(2\pi/17)$ per mezzo di radicali quadratici iterati è $$ 16\, \operatorname{cos}{2\pi\over17}=\sqrt{17}-1 +\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}$$
Fonte.
https://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi17.html

Madness

Cauchy is mad and there is nothing that can be done about him, although, right now, he is the only one who knows how mathematics should be done.

Niels Henrik Abel (1826)

Source 
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cauchy/

Il Teorema di Cayley-Hamilton

Uno dei classici e fondamentali risultati in Algebra Lineare è il celebre

Teorema di Cayley-Hamilton

Ogni matrice quadrata $A$ su un anello commutativo $R$ soddisfa il suo polinomio caratteristico. In altre parole, se $p(t)= \det(tI-A)$ è il polinomio caratteristico di $A$, allora $p(A)=0.$

Le prime dimostrazioni vennero date da Hamilton [H1853] in alcuni casi particolari di matrici $2 \times2$ e $4 \times 4$, utilizzando la teoria dei quaternioni. Cayley [C1858] enunciò il risultato nel caso $2\times2$ e $3 \times3$, ma pubblicò solo la dimostrazione nel caso $2 \times 2$. Il caso generale venne provato da Frobenius [F1878]. 

Il teorema di Cayley-Hamilton ha molte importanti conseguenze, e lo spazio di questo post è troppo limitato per poterle elencare tutte. Il lettore può consultare [W] o un qualsiasi testo avanzato di Algebra Lineare per maggiori dettagli. A titolo di esempio, ricordiamo che

1. Quando $R$ è un campo, il Teorema di Cayley-Hamilton è equivalente al fatto che il polinomio minimo di $A$ divide il suo polinomio caratteristico.
2. Se $A$ ha ordine $n$, l'identità $p(A)=0$ permette di scrivere la potenza $A^n$ come combinazione lineare delle potenze $I, \, A, \, A^2, \ldots , A^{n-1}$. I coefficienti di tale combinazione lineare sono funzioni simmetriche elementari negli autovalori di $A$.
3. Se $A$ è di ordine $n$, nilpotente e definita su un campo, allora il suo indice di nilpotenza è al più $n$, ossia $A^n=0.$ Infatti, l'ipotesi di nilpotenza assicura che l'unico autovalore di $A$ è $0$, quindi $P(A)=t^n$, e il risultato segue immediatamente da Cayley-Hamilton. Analogamente, Cayley-Hamilton assicura che se ogni autovalore di $A$ è nullo allora $A$ è nilpotente (il viceversa è banale).

Sono conosciute molte dimostrazioni di questo importante risultato, e ogni testo avanzato di Algebra Lineare ne contiene almeno una. Ad esempio, il classico testo di Lang lo presenta come conseguenza della teoria della riduzione a forma triangolare [L70, Capitolo 10]. Altri Autori presentano invece il teorema come conseguenza dell'esistenza della forma canonica di Jordan. Osserviamo che la dimostrazione "ingenua" ottenuta ponendo $t=A$ in $\det(tI-A)$ non funziona, dato che non è lecito eguagliare una matrice ed uno scalare.

Diamo qui una dimostrazione molto breve, nel caso di un campo algebricamente chiuso, che utilizza un argomento di tipo topologico. Per semplicità supponiamo $R=\mathbb{C}$, il campo dei numeri complessi; non è tuttavia difficile adattare l'argomento nel caso generale, utilizzando la topologia di Zariski invece di quella euclidea. Se il campo dei coefficienti di $A$ non è algebricamente chiuso, l'argomento funziona ancora applicandolo alla sua chiusura algebrica.

Dimostrazione. La prima osservazione è che, se $A$ è diagonalizzabile, allora il Teorema di Cayley-Hamilton è vero, come segue facilmente da un calcolo elementare.

Consideriamo ora il polinomio minimo di $A$, che indichiamo con $q(t)$. Allora A è diagonalizzabile se e solo se $q(t)$ non ha zeri multipli (qui utilizziamo il fatto che $A$ sia definita su un campo algebricamente chiuso) o, equivalentemente, se e solo se il discriminante $$\mathrm{disc}_A(t)=\mathrm{res} (q(t), \, q'(t))$$ è non nullo.

Prendiamo ora la funzione definita sullo spazio vettoriale $\mathrm{Mat}_n(C)$ che associa ad ogni matrice $A$ il polinomio $\mathrm{disc}_A(t)$. Questa funzione è continua, dato che i coefficienti di $\mathrm{disc}_A(t)$ sono polinomi negli elementi di $A$, e il luogo delle matrici non diagonalizzabili è, per quanto visto sopra, la controimmagine di $0$. 

Pertanto le matrici diagonalizzabili sono il complementare di una ipersuperficie algebrica in $\mathrm{Mat}_n(\mathbb{C})=\mathbb{C}^{n^2}$, in particolare esse formano un sottoinsieme denso in $\mathrm{Mat}_n(\mathbb{C})$.

Per quanto osservato all'inizio riguardo al caso diagonalizzabile, segue che la funzione continua $A \mapsto p(A)$ è identicamente nulla su un sottoinsieme denso di $\mathrm{Mat}_n(\mathbb{C})$, dunque è nulla ovunque.  $\square$

Riferimenti.

[C1858] A. Cayley: A Memoir on the Theory of Matrices, Philos. Trans. 148 (1858)

[F1878] G. Frobenius: Ueber lineare Substutionen und bilineare Formen, J. Reine Angew. Math. (84): 1–63 (1878).

[H1853] W. R. Hamilton: Lectures on Quaternions (1853)

[L70] S. Lang: Algebra Lineare, Bollati Boringhieri (1970)

[W] https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley-Hamilton_theorem

Snobbishness

It is the snobbishness of the young to suppose that a theorem is trivial because the proof is trivial.

Attributed to John Henry Constantine Whitehead (1904-1960).

I numeri tribonacci

La successione definita per ricorrenza da $$T_n=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3},$$

in cui ogni termine è la somma dei tre precedenti, è detta successione dei numeri tribonacci. 

Ponendo $T_1=T_2=0, \, T_3=1$, i primi termini sono $$0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 2, \, 4, \, 7, \, 13, \, 24, \, 44, \, 81, \, 149, \, 274, \, 504, \, 927, \, 1705, \, 3136, \ldots$$

vedi [1].  Il nome "tribonacci" (chiaramente ispirato da "Fibonacci") fu suggerito da Mark Feinberg , che studiò la successione in [2], dimostrando che il rapporto $T_n/T_{n-1}$ converge a $$\frac{\sqrt[3]{17+3\sqrt{33}} - \sqrt[3]{-17+3\sqrt{33}} - 1}{3}=0.5436890126 \ldots,$$ l'unica radice reale dell'equazione $x^3+x^2+x-1=0$. 

La brillante carriera matematica di Feinberg, che all'epoca aveva appena 14 anni, fu purtroppo interrotta quattro anni dopo da un tragico incidente in motocicletta.

In modo analogo è possibile definire i numeri tetranacci, pentanacci e così via; il lettore interessato può trovare maggiori informazioni in [3].

Riferimenti.

[1] https://oeis.org/A000073

[2] M. Feinberg: Fibonacci-Tribonacci, Fibonacci Quarterly 1, 71–74 (1963). 

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Generalizations_of_Fibonacci_numbers

Domino e scacchiere

Consideriamo una scacchiera quadrata $8 \times 8$. Se eliminiamo due caselle dello stesso colore, allora un semplice argomento di parità mostra che non è possibile coprire la parte rimasta con pedine del domino: basta infatti osservare che ogni pedina copre una casella bianca e una nera, mentre la scacchiera mutilata ha $30$ caselle di un colore e $32$ dell'altro.

Cosa accade se eliminiamo due caselle di colore diverso? La risposta è che possiamo sempre coprire la parte rimanente con pedine del domino, qualunque siano le caselle rimosse.

Una splendida "dimostrazione senza parole" è quella illustrata in figura e tratta da [1, p. 67]: si supponga che A, B siano le caselle rimosse e si dispongano le pedine lungo la serpentina delimitata dalle linee nere. 

Domanda: esiste una dimostrazione di questo fatto che non utilizzi la figura?

Riferimenti.

[1] R. Honsberger: Mathematical Gems 1, Dolciani Mathematical Expositions 1, 1974. 

The Feynman algorithm for problem solving

1. Write down the problem.
2. Think real hard.
3. Write down the solution.

Attributed to Murray Gell-Mann.

Source: http://wiki.c2.com/?FeynmanAlgorithm

Il survival bias

Il survival bias è un errore logico che si commette nel momento in cui, esaminando i dati riguardanti un determinato processo di selezione (in senso ampio) ci si concentra su quelli riguardanti persone o cose che hanno superato il processo, trascurando l'analisi dei casi di insuccesso.

Tale errore può essere notato di frequente nelle discussioni sui social network riguardo la pericolosità di una certa malattia (come il morbillo o l'influenza), ritenuta dalla maggior parte dei commentatori innocua in quanto da loro superata senza danni rilevanti. Il problema sta, evidentemente, nel fatto che coloro che sono purtroppo deceduti a causa di essa non hanno la possibilità di contribuire con la loro voce al dibattito. 

Il survival bias, a parte il suo intrinseco interesse in quanto fallacia logica, ha conseguenze potenzialmente molto dannose in ambito scolastico o accademico, sia per quanto riguarda il processo di formazione che quello di reclutamento. Esempi tipici sono i seguenti.

• Una certa scuola/università X annovera, fra i suoi diplomati/laureati, un alto numero di individui che raggiungono posizioni di prestigio in ambito lavorativo. Pertanto, si sarebbe tentati di dedurre che X è un'istituzione di eccellenza. Tuttavia, questa deduzione si basa esclusivamente sull'analisi delle carriere di coloro che hanno avuto successo, ignorando quelle di coloro che hanno fallito. Altre spiegazioni sono in realtà possibili: magari X è una istituzione molto numerosa, e quindi statisticamente ci saranno parecchi studenti brillanti; oppure è una istituzione molto costosa, alla quale riescono ad accedere solo studenti socialmente privilegiati, e quindi aventi già in partenza migliori possibilità di successo. Nulla si può concludere senza analizzare le carriere di tutti gli studenti, compresi coloro che non sono riusciti a diplomarsi/laurearsi.
• Una certa branca Y della disciplina X ha molto più successo delle altre, e coloro che la studiano ricoprono posizioni di prestigio in ambito accademico, e hanno a disposizione fondi di ricerca e posti da bandire. Si sarebbe tentati di concludere che Y è, fra tutte, la branca di X scientificamente più rilevante e meritevole di essere finanziata e studiata ma, di nuovo, questa deduzione non tiene conto di coloro che studiano una branca differente Z, magari ugualmente valida ma che non riesce ad emergere in quanto marginalizzata dallo strapotere di Y. Di fatto, giudicare Y migliore di Z solo perché è mainstream e ha più visibilità, senza entrare nel merito dei risultati raggiunti, può alla lunga appiattire pericolosamente il dibattito scientifico nell'ambito della disciplina X.

Un aneddoto, molto citato in Ricerca Operativa, che mostra come il survivor bias possa portare a deduzioni apparentemente ineccepibili, ma in realtà totalmente errate, è quello legato alla figura. Si tratta di un aereo statunitense della Seconda Guerra Mondiale, dove i segni in rosso indicano in quali punti la fusoliera e le ali risultavano danneggiate dall'artiglieria nemica quando l'aereo rientrava alla base per riparazioni. 

Come proteggere maggiormente gli aerei? Ingenuamente, si sarebbe tentati di rafforzare le zone dove c'è maggiore concentrazione di punti rossi; tuttavia, come fece notare il gruppo di ricerca guidato dal matematico Abraham Wald, la strategia ottimale è fare esattamente l'opposto. 

Infatti, gli aerei colpiti nelle zone senza punti rossi, al contrario degli altri, non erano riusciti a rientrare, in quanto un danno in quelle zone era troppo grave e causava l'abbattimento del velivolo. Paradossalmente, le aree rosse erano addirittura quelle meno problematiche, dato che un areo colpito solo lì aveva buone possibilità di riportare il pilota alla base.

La dimostrazione di Apostol dell'irrazionalità di $\sqrt{2}$

Tutti conoscono la classica dimostrazione dell'irrazionalità di $\sqrt{2}$ basata sul principio della fattorizzazione unica degli interi. 

Meno nota è invece la seguente dimostrazione geometrica, che procede per assurdo tramite un argomento di discesa infinita. In [1], tale dimostrazione è attribuita a Tom M. Apostol.

Si consideri un triangolo rettangolo isoscele come in figura, e si tracci la circonferenza di centro il vertice in alto e raggio il cateto verticale. Allora i tre segmenti marcati con doppio trattino hanno eguale lunghezza (si noti che due di essi sono segmenti di tangente condotti dallo stesso punto alla circonferenza), in particolare il triangolo piccolo è anche esso rettangolo isoscele.

Se il triangolo di partenza avesse tutti e tre i lati di misura intera, lo stesso sarebbe vero per il triangolo piccolo, in quanto sia il suo cateto che la sua ipotenusa sarebbero differenza di due segmenti avente misura intera.

Possiamo ora ripetere il procedimento per il triangolo piccolo e così via. Considerando le ipotenuse (o i cateti) dei triangoli così costruiti, otteniamo una successione strettamente decrescente e infinita di interi positivi, contraddizione.

Riferimenti

[1] Answer by Hans-Peter Stricker to MO8846, see 
https://mathoverflow.net/questions/8846/proofs-without-words

A vintage Möbius strip

Q: Why did the chicken cross the Möbius strip?
A: To get to the same side!
(old math joke)

In 1865, August Ferdinand Möbius published his paper "Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders" ("On the determination of the interior of some Polyhedra"), in which he introduced the one-sided surface that nowadays is called, after him, "Möbius strip".

In the picture, we can see the description of the surface originally given by Möbius: it is the usual identification space of the rectangle that one studies in the first Topology course.

References

A. F. Möbius: Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders, Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Mathematisch-physikalische Klasse, Bd. 17, p. 31-68, 1865.

http://sites.mathdoc.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_MOBIUS__2_473_0

Proofs without words 2

A visual proof that $$\sin 2x = 2\sin x \cos x, \quad  \cos 2x = \cos^2 x−\sin^2x$$  The argument only requires similarity of triangles.

Credits: Fermat's Library on Twitter (@fermatslibrary)

Wedderburn's little theorem

Theorem. Every finite division ring $K$ is a field.

This classical result was first proven by Joseph Wedderburn in 1905. It is actually a rather unexpected fact that the finiteness of elements in $K$ imposes such a strong condition as the commutativity of multiplication. The finiteness assumption is clearly an essential one, because there exist infinite, non commutative division rings, such as the ring $\mathbb{H} $ of real quaternions.

The proof of Wedderburn's theorem usually given in modern textbooks (as the ones cited in the references below) is due to Ernst Witt (1931) and goes as follows.

Proof. Let $Z:=Z(K)$ be the center of $K$.  By assumption, $Z$ is a finite field and then it has $q=p^s$ elements, where $p$ is the characteristic and $s= [Z : \mathbb{F}_p]$ is the dimension of $Z$ as a $\mathbb{F}_p$-vector space.  We want to show that $Z=K$.

Since $K$ is a finite-dimensional vector space over $Z = \mathbb{F}_q$, it has $q^t$ elements for some $t \geq 1$. For all $x \in K$, let us denote by $C_x$ the centralizer of $x$ in $K$, namely $$C_x :=\{y \in K \, | \, xy=yx \}.$$ Then $C_x$ is a $Z$-vector space, and we call $q^{d(x)}$  its dimension.  Then $d(x)$ divides $t$ and $d(x)=t$ if and only if $x \in Z$.

Setting $G:=K^*$ for the multiplicative group of $K$, we see that $G$ is a finite group whose center is $Z^*$; moreover the centralizer in $G$ of an element $x$ is $C_x^*$. Then the equation of conjugate classes for $G$ yields
\begin{equation} \label{eq:classes}
q^t-1 = |G| = |Z^*| + \sum \frac{|G|}{|{C_x}^*|} = q-1 + \sum \frac{q^t-1}{q^{d(x)}-1},
\end{equation} where the sum is extended to a complete system of representatives for the conjugacy classes of $G \setminus Z^*= K \setminus Z$.

We want now to show that the only possibility is $d(x)=t=1$, namely $K=Z$. In order to do this, we exploit the theory of cyclotomic polynomials. In fact, for any positive divisor $d$ of $t$ such that $1 < d < t$, we have $$X^t -1 = \prod_{k | t} \Phi_k(X) =\Phi_t(X)(X^d-1) \left(\prod_{k<t, \, k |t, \, k \nmid d } \Phi_k(X) \right).$$ This implies that $$\frac{X^t-1}{X^d-1}$$ is a polynomial with integer coefficients, which is divided by $\Phi_t(X)$. In particular, setting $X=q$ and $d=d(x)$, we deduce that $\Phi_t(q)$ divides $(q^t-1)/(q^{d(x)}-1)$, hence by  using \eqref{eq:classes} we infer that $\Phi_t(q)$ divides $q-1$.

We now obtain the desired contradiction: indeed, if $\zeta$ is a primitive $t^{\mathrm{th}}$ root of unity, since $t >1$ and $q \in \mathbb{N}$  we have  $|q - \zeta| > q-1,$ so  $$\Phi_t(q) = \prod_{(k, \, t)=1} |q - \zeta^k| > q-1, $$ which is absurd.   $\; \Box$

Wedderburn's theorem is a purely algebraic result; however, it has unexpected consequences in projective geometry. In fact, it is known that a projective plane $\mathbb{P}$ is Desarguesian if and only if it is of the form $\mathbb{P}^2(K)$ for some division ring  $K$, and that in that case it is Pappian if and only if $K$ is a field. So we obtain the following 

Corollary. A finite projective plane $\mathbb{P}^2(K)$ is Desarguesian if and only if it is Pappian.

It is remarkable that this is the only known proof of the implication $$\textrm{Desarguesian} \Longrightarrow \textrm{Pappian}$$ for a finite projective plane $\mathbb{P}^2(K).$

References

• E. Artin: Algèbre Géométrique, Gauthier-Villars, p. 37.
• S. Gabelli: Teoria delle equazioni e teoria di Galois, Springer, p. 171.
• I. N. Herstein: Algebra, Editori Riuniti, p. 397.
• https://en.wikipedia.org/wiki/Wedderburn%27s_little_theorem

Blindness

"Should you just be an algebraist or a geometer?" is like saying "Would you rather be deaf or blind?"
Sir Micheal Atiyah 

Source
M. Atiyah: Mathematics in the 20th century, Bull. London Math. Soc. 34 (2002) 1–15.
https://doi.org/10.1112/S0024609301008566

Proofs without words 1

Every odd number is the difference of two consecutive squares.

Pick an odd number $n$ (in red), "bend it" in the middle and fill the square (with the blue part). In the picture, we see that for $n=13$ we obtain $13=7^2-6^2$.

Credits: MSE question 263101

When length does not matter

L'articolo di 5 righe con il quale, nel 1966, Lander e Parkin smentirono la congettura di Eulero nel caso $n=5$. 

La congettura è ancora aperta per $n  \geq  6$.

 

L'irrazionalità di $e$

Esponiamo la celebre dimostrazione in poche righe dell'irrazionalità di $e$, dovuta a Joseph Fourier. L'idea è quella di ragionare per assurdo, spezzando in modo opportuno il noto sviluppo in serie e maggiorando una delle quantità risultanti per mezzo di una serie geometrica. 

Teorema. Il numero di Nepero $e$ è irrazionale. 

Dimostrazione.  Supponiamo per assurdo che $e$ sia razionale, cioè che si possa scrivere $e=m/n$ con $m, \, n \in \mathbb{N}$. Allora si ha 

\begin{equation*}
\frac{m}{n}=\sum_{k=0}^{+ \infty} \frac{1}{k!} \end{equation*} da cui, dopo avere moltiplicato entrambi i termini per $n!$, si ottiene \begin{equation*}\begin{split} & m(n-1)! -  \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!} = \sum_{k=n+1}^{+ \infty} \frac{n!}{k!} \\ = &  \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}+ \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+ \ldots \\ <  &  \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2}+ \frac{1}{(n+1)^3}+ \ldots \\ = & \frac{1}{n} \end{split}\end{equation*} Il primo termine a sinistra è un intero positivo, mentre l'ultimo a destra è compreso strettamente fra $0$ e $1$, contraddizione. $\square$

Walks

A line is a dot that went for a walk.
Paul Klee

Source.
The Diaries of Paul Klee (1964)

Halloween

Un numero vampiro è un numero di $2n$ cifre che può essere fattorizzato in due numeri di $n$ cifre (detti "zanne"), non entrambi terminanti per zero, che contengono tutte le cifre del numero originale, in qualsiasi ordine e con la stessa molteplicità.

Il primo numero vampiro è $1260=21 \times 60$. Il successivo è $1395 = 15 \times 93$. I numeri vampiro sono infiniti, e alcuni di essi sono tabulati nella successione OEIS A014575.

Here comes loneliness (aka Teaching online)

"Papà, ti presto il mio Bing così ti sentirai meno solo in aula."

Do they sell Noetherian rings?

Credits: Álvaro Lozano-Robledo on Twitter (@MathAndCobb)

$f(x)=1/x$ ha una discontinuità in $x=0$?

What is important is to spread confusion, not eliminate it.

Attributed to Salvador Dalì

Se si vuole innescare un flame in una pagina sui social dedicata alla Matematica, un metodo infallibile è porre la domanda nel titolo del post. Sicuro come le tasse, i commentatori si divideranno, automaticamente e all'istante, in due fazioni agguerritissime e fra loro inconciliabili:

1. Per alcuni, $f(x)=1/x$ non ha discontinuità in nessun punto, dato che $x=0$ non fa parte del "dominio naturale" di $f$ e quindi non ha senso parlare di continuità di $f(x)$ in $x=0$ fin quando non si assegni un valore preciso a $f(0)$.
2. Altri fanno invece notare che, in ogni caso, qualsiasi valore si assegni a $f(0)$ la funzione sarà non-continua, dato che i limiti per $x$ che tende a $0$ non sono finiti. Quindi, ha senso dire che $f(x)=1/x$ ha una "discontinuità di seconda specie" in $x=0$. Il fatto che il punto $x=0$ non sia nel dominio naturale di $f$ non è un problema, dato che basta che esso sia di accumulazione per lo stesso. 

Chiedersi chi ha ragione è un po' come chiedere se $0$ è un numero naturale, se le permutazioni si compongono da sinistra a destra o da destra a sinistra, se sulla pizza marinara va l'aglio o se sono meglio i Beatles o i Rolling Stones: in altre parole, è una questione di convenzione (e di gusti).

Sicuramente, la definizione di "continuità di una funzione in un punto $x$" richiede che la funzione sia definita in tale punto. Tuttavia, e qui sta il nocciolo della questione (che viene messo in evidenza, ad esempio, da Sandra Lucente su MaddMaths [MaddMaths17] o da "egreg" nella sua risposta a [MSE421951]), il termine "discontinuità" in Matematica non ha sempre significato (solo) "punto di non continuità" nel senso moderno.

Infatti, tale termine deriva dal concetto intuitivo (ed errato) che il grafico di una funzione continua sia composto "di un solo pezzo", per cui "avere una discontinuità"  diventava sinonimo di "il grafico in quel punto si spezza". Questa terminologia infelice è la fonte di una serie interminabile di malintesi, dato che  "discontinuità" in tal senso è più simile al concetto di "singolarità" per funzioni di variabile complessa che a quello di "punto di non continuità" per funzioni di variabile reale.

Una delle conseguenze di tale confusione è che alcuni Autori usano il termine "discontinuità" nell'accezione dei commentatori in 1., mentre altri Autori la usano nell'accezione dei commentatori in 2.

Ciò risulta in modo evidente da una rapida, e sicuramente non esaustiva, analisi delle letteratura, che  mostra come la definizione di "discontinuità" data nei manuali universitari di Analisi 1 sia ben lungi dall'essere univocamente stabilita; il lettore potrà, se lo ritiene opportuno, effettuare un'analisi simile per i manuali adottati nei Licei.

• In Amerio il termine "discontinuità in $x_0$" è usato precisamente nell'accezione 2. L'autore specifica che il punto $x_0$ deve appartenere all'insieme $DT$ dei punti di accumulazione del dominio $T$ della funzione. Citando testualmente [A90, p131]:

  Se $T$ è l'insieme di definizione di una funzione, si dice punto di discontinuità di f(x) ogni punto $x_0 \in DT$ in cui la funzione stessa non è continua o non è definita.

• In Cecconi-Stampacchia  il termine "discontinuità" è usato esclusivamente nell'accezione 1., quindi come "punto di non continuità" [CS74, p. 162].
• In Pagani-Salsa il termine è usato nell'accezione 1.; tuttavia, viene osservato che l'accezione 2. è anche comune, ma secondo gli Autori [PS95, Osservazione 1.1 p. 228] essa è ammissibile
  

  solo se si sottintende che le funzioni in questione siano state tacitamente definite in $x_0$ in modo opportuno.

• In Bramanti-Pagani-Salsa la trattazione è piuttosto curiosa, almeno a mio parere. A p. 117 viene detto esplicitamente che
  

  una funzione non continua in $c$ è detta discontinua in $c$,

  il che porta a pensare che gli Autori utilizzino l'accezione 1. Subito dopo, però, viene data la definizione di "discontinuità a salto" (quella che altri Autori chiamano "di prima specie") ma, stranamente, senza richiedere che la funzione sia definita nel punto [BPS08, Definizione 3.12 p. 117]. Ciò è reso ancora più esplicito all'inizio di p. 118, dove si dice  che
  

  la funzione $x/|x|$ ha un punto di discontinuità a salto in $0$, con salto $2$.

• Giusti, nel suo bel libro [G88], è vittima nella stessa ambiguità terminologica che abbiamo analizzato sopra. A p. 150 scrive testualmente
  

  Si capisce meglio il concetto di continuità se si studiano brevemente i punti di discontinuità di una funzione, ossia i punti in cui una funzione non è continua.

  Sembra quindi che l'Autore voglia utilizzare il termine "discontinuità" nell'accezione 1. Tuttavia,  poco dopo (a p. 151) scrive esplicitamente che $1/x$ e $1/x^2$ hanno una discontinuità "di secondo tipo" in $0$, il che ha senso solo se si utilizza il termine "discontinuità" nell'accezione 2.

• Leggendo Marcellini-Sbordone [MS88] sembra che gli Autori propendano per l'accezione 2. Per loro, infatti, una funzione non definita in un punto è per definizione non continua in tale punto; a p. 104 si fornisce come esempio esplicito $f(x)=\sin x/x$ in $x=0$, anche se viene immediatamente osservato che è possibile prolungare tale funzione con continuità ponendo $f(0)=1$. L'analisi delle "discontinuità" che segue  è sulla stessa linea: ad esempio, viene definita "discontinuità di seconda specie" un punto $x_0$ tale che uno dei due limiti non esista o non sia finito, senza nulla richiedere sull'esistenza di $f(x_0)$, supponendo quindi implicitamente che $x_0$ sia punto d'accumulazione per il dominio della funzione.

• Soardi propende decisamente per l'accezione 2. Nella sezione dedicata ai punti di discontinuità [So10, p. 188] l'Autore scrive infatti testualmente
  

  Se $f(x)$ non è continua in $x_0$ si dice che $x_0$ è punto di discontinuità. È opportuno tuttavia ampliare la nozione di punto di discontinuità al caso in cui $f$ non sia necessariamente definita in $x_0$.

  A scanso di equivoci, alla fine della trattazione di ciascuno dei tre tipi di discontinuità, specifica 

non è richiesto che la funzione sia definita in $x_0$. 

• De Marco utilizza il termine "discontinuità" con l'accezione 1, ma la sua classificazione è un po' diversa da quella usuale. In [DeM96, p. 301] l'Autore chiama "punto di discontinuità di prima specie" per una funzione $f \colon D \to \mathbb{R}$ un punto $c \in D$ di accumulazione per $D$ tale che i limiti per $x \to c$ di $f(x)$ esistono ma differiscono fra loro o dal valore $f(c)$. Questa definizione ingloba sia le discontinuità eliminabili che quelle di salto. Ogni altra discontinuità viene chiamata "di seconda specie".

Questi pochi esempi mostrano come ogni tentativo di dare una risposta alla domanda nel titolo del post finisce per farti addentrare in un ginepraio inestricabile di definizioni spesso fra loro contrastanti. Se devi insegnare la materia, ti chiedi giustamente: Che fare? [L70]. Anche qui, la risposta non è semplice, e probabilmente non esiste neanche una risposta "giusta". 

Personalmente, quando mi trovo a parlare dell'argomento, preferisco evitare il termine "discontinuità", fonte di confusione, e ad usare al suo posto il termine "singolarità". Prima, però, illustro le due accezioni del termine "discontinuità" che si trovano in letteratura, e quali siano a mio avviso i pro e i contro di entrambe. Al di là di ogni polemica, il modo migliore per rapportarsi ad una terminologia diffusa ma ambigua è quello di spiegare chiaramente il motivo e i rischi di tale ambiguità.

Riferimenti.

[A90] L. Amerio: Analisi Matematica con elementi di Analisi Funzionale, Volume Primo, edizione ampliata, UTET 1990

[BPS08] M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 1, Zanichelli 2008

[CS74] J. Cecconi, G. Stampacchia: Analisi Matematica 1, Liguori 1974

[DeM96] G. De Marco: Analisi 1, Seconda Edizione, Decibel-Zanichelli 1996 

[G88] E. Giusti: Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri 1988

[L70] Lenin: Che fare? Editori Riuniti, 1970.

[MaddMaths17] http://maddmaths.simai.eu/divulgazione/langolo-arguto/possibile-che-funzioni-continue-siano-discontinue-e-viceversa/

[MS88] P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi Matematica 1, Liguori 1998

[MSE421951] https://math.stackexchange.com/questions/421951/does-a-function-have-to-be-continuous-at-a-point-to-be-defined-at-the-point

[PS95] C. D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 1, Masson 1995

[S10] P. M. Soardi: Analisi Matematica, Città Studi 2010.

A. I.

Computers are useless. They can only give you answers.
Attributed to Pablo Picasso (1964).

Source.
E. K. Adkins: Man And Technology - The Social And Cultural Challenges Of Modern Technology, Avalon Publishing (1983), pp. 78, 100.

Make the impossible possible

Una scultura realizzata a Perth, in Australia, che rappresenta il celebre Triangolo di Penrose.

Ovviamente, non è come sembra.

Fonte: Wikimedia Commons

Il lamplighter group

È noto dai corsi elementari di Algebra Lineare che un sottospazio di uno spazio vettoriale di dimensione finita è a sua volta di dimensione finita. 

Un risultato analogo non vale invece per i gruppi: un sottogruppo di un gruppo finitamente generato non è necessariamente finitamente generato. Un classico controesempio è il cosiddetto lamplighter group $L$, la cui costruzione andiamo ora a descrivere.

Consideriamo innanzitutto la somma diretta infinita $$B:=\bigoplus_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}_2$$ i cui elementi sono successioni doppiamente infinite $$(a_i)_{i \in \mathbb{Z}}=(\ldots, a_{-1}, \, a_0, \, a_1, \ldots)$$ di elementi di $\mathbb{Z}_2=\{\bar{0}, \, \bar{1} \}$, tali che al più un numero finito di essi sia diverso da $\bar{0}$.

Lemma 1. Il gruppo $B$ non è finitamente generato. 

Dimostrazione. $B$ è abeliano e ogni suo elemento ha ordine $2$. Ma un gruppo abeliano finitamente generato e tale che ogni elemento abbia ordine finito è necessariamente finito.  $\square$

Consideriamo ora l'omomorfismo di gruppi $$\varphi \colon \mathbb{Z} \to B$$ dato dallo shift $\varphi(n)(a_i)=a_{n+i}$ per ogni $n, \, i \in \mathbb{Z}$.  Esso permette di costruire il prodotto semidiretto $$L:=B \rtimes \mathbb{Z}$$ che è un caso particolare di prodotto wreath ristretto (infatti, si ha $L= \mathbb{Z}_2 \mathrm{wr}_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z})$ e una cui presentazione è data da $$L= \langle x_i, \, t \; | \; x_i^2=1, \; \;  [x_i, \, x_j]=1, \; \; tx_it^{-1} =x_{i+1}, \; \; i, \, j \in \mathbb{Z} \rangle $$ Qui gli $x_i$ sono i generatori di $B$ e $t$ è un generatore di $\mathbb{Z}$ in notazione moltiplicativa, mentre le relazioni di coniugio esprimono il fatto che $\varphi(1) \colon B \to B$ è l'automorfismo dato dallo shift di $1$.

La presentazione di $L$ descritta sopra ha infiniti generatori; tuttavia (e qui sta il punto cruciale)  i generatori di $B$, a parte uno di essi (diciamo $x_0$), sono superflui in quanto si ha $$t^i x_0 t^{-i}=x_i$$ Pertanto, ponendo $x:=x_0$, possiamo riscrivere la presentazione di $L$ come $$L=\langle x, \, t \; | \; x^2=1, \; \; [t^ixt^{-i}, \, t^j x t^{-j}]=1, \; \;  i, \, j \in \mathbb{Z}\rangle$$ che può essere ulteriormente semplificata nel modo seguente $$L=\langle x, \, t \; | \; x^2=1, \; \; (t^kxt^{-k}x)^2=1, \; \;  k \in \mathbb{Z}\rangle$$ Ciò mostra che $L$ è finitamente generato. Tuttavia, esso contiene come sottogruppo il gruppo $B$, che non è finitamente generato per il Lemma 1. 

Osservazione1. $L$ è finitamente generato ma non finitamente presentato. Infatti, la presentazione data ha due generatori e infinite relazioni, e si può mostrare che $L$ non ammette nessuna presentazione finita.

Osservazione 2. $B$ è normale in $L$, e ha indice infinito in esso. Infatti, è noto che un sottogruppo di indice finito di un gruppo finitamente generato è a sua volta finitamente generato.

Osservazione 3. Il nome "lamplighter group" ("gruppo del lampionaio") viene dal fatto che si può pensare agli elementi del  gruppo $B=\bigoplus \mathbb{Z}_2$ come ad successioni doppiamente infinite di lampioni, ciascuno dei quali può essere acceso ($\bar{1}$) o spento ($\bar{0}$) e tali che al più un numero finito di lampioni siano accesi insieme. Il generatore $t$ del fattore $\mathbb{Z}$ di $L=B \rtimes \mathbb{Z}$ può essere identificato col lampionaio, la cui azione fa passare da ogni lampione al successivo.

Riferimenti.
[M2012] A. Machì, Groups (Springer 2012), Chapter 4.

A. Square

La copertina della prima edizione di Flatland (Londra, 1884). Si può leggere il celebre sottotitolo "A romance of many dimensions, by A. Square."

Fin da subito, l'opera di Edwin Abbott suscitò reazioni contrastanti. Alcuni la lodarono come metafora del libero pensiero, che sfida i precetti della religione organizzata e della morale costituita per raggiungere nuove e più elevate forme di consapevolezza. Altri la criticarono aspramente, in quanto descriveva una società rigidamente divisa in caste, con le donne poste in fondo alla scala gerarchica.

Abbott si difese da queste accuse (in particolare, da quella di misoginia) nella prefazione alla seconda edizione, affermando che la sua voleva essere una rappresentazione satirica delle rigide convenzioni sociali e familiari insite nella società vittoriana.

Fonte: Wikipedia

Less is more

Una "letter of reference" per l'ammissione a Princeton, scritta da Richard Duffin e indirizzata a Solomon Lefschetz (11 febbraio 1948).

Lo studente diciannovenne in questione si chiamava John F. Nash Jr., e la sua presentazione consiste di una singola frase: "He is a mathematical genius".

Fonte: The De Morgan Forum (London Mathematical Society)

La dimostrazione originale di Cantor della non-numerabilità dell'insieme dei numeri reali

 La dimostrazione della non-numerabilità di $\mathbb{R}$ che viene insegnata di solito al primo anno di università è quella basata sul ben noto procedimento diagonale [W], introdotto da Georg Cantor nel 1891 [C1891].

Meno nota è invece la dimostrazione originale di questo profondo risultato, che Cantor pubblicò nel 1874 [C1874] e che vogliamo qui proporre usando la terminologia moderna. Il punto di partenza è il seguente risultato generale di carattere topologico [M2014, Proposizione 4.46], oggi noto come 

Lemma di Cantor. Sia $$K_1 \supset K_2 \supset K_3 \supset \ldots$$ una catena numerabile di chiusi non vuoti e compatti di uno spazio topologico $X$. Allora $$\bigcap_{n \geq 1} K_n \neq \emptyset$$

Dimostrazione. Se il risultato fosse falso, la famiglia $\{K_1-K_n\}_{n \geq 1}$ sarebbe un ricoprimento aperto di $K_1$. Siccome $K_1$ è compatto, si potrebbe estrarre da tale ricoprimento un sottoricoprimento finito, ottenendo $$K_1=\bigcup_{j = 1}^t (K_1-K_{n_j})$$ Ciò implicherebbe $\bigcap_{j = 1}^t K_{n_j}=\emptyset$, una contraddizione dato che tale intersezione è uguale a $K_{n_t}$. $\square$

Osservazione: È importante notare che l'ipotesi di compattezza dei $K_n$ è essenziale, altrimenti si costruiscono facilmente controesempi del tipo $X=\mathbb{R}-\{0\}$ e $K_n=[-1/n, \, 1/n] \cap X$.

Siamo ora pronti ad illustrare l'idea della dimostrazione originale di Cantor.

Teorema (Cantor, 1874). La retta reale è non numerabile.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che $\{x_n\}$ sia una successione che enumera i reali;  dimostreremo che, dato un qualsiasi intervallo $(a, \, b)$, esiste sempre un numero reale $y \in (a, \, b)$ che non appartiene ad essa. 

Si costruiscano in modo ricorsivo due successioni $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ nel modo seguente: siano $a_1$, $b_1$ (con $a_1 <b_1$) i primi due elementi della successione $\{x_n\}$ che sono contenuti in $(a, \, b)$, siano $a_2$, $b_2$ (con $a_2 < b_2$) i primi due elementi della successione che sono contenuti in $(a_1, \, b_1)$,  siano $a_3$, $b_3$ (con $a_3 < b_3$) i primi due elementi della successione che sono contenuti in $(a_2, \, b_2)$ e così via. 

Osserviamo che, dato un qualsiasi elemento $x_n$ della successione originaria, esiste $t \in \mathbb{N}$ tale che  $x_n \notin [a_t, \, b_t]$. Infatti, si scelga $t \in \mathbb{N}$ tale che $a_t=x_k$ e $b_t=x_r$, con $k, \, r >n$; allora, per come sono state costruite le successioni $\{a_n\}$ e $\{b_n\}$, deduciamo $x_n \notin(a_{t-1}, \, b_{t-1})$ e quindi $x_n \notin [a_t, \, b_t]$, come affermato.

Ora, per il Lemma di Cantor sappiamo che  la catena decrescente di compatti $$[a_1, \, b_1] \supset [a_2, \, b_2] \supset [a_3, \, b_3] \supset \ldots$$ ha intersezione non vuota. Se $y$ è un elemento in tale intersezione, per quanto appena detto si ha necessariamente $y \notin \{x_n\}$, contraddizione.   $\square$

Questa elegante dimostrazione usa in modo essenziale il fatto che gli intervalli chiusi di $\mathbb{R}$ sono compatti (il che è equivalente all'Assioma di Completezza), vedi l'Osservazione sopra.  Per tale motivo, Cantor non ne fu pienamente soddisfatto e continuò a cercare una dimostrazione della non-numerabilità di $\mathbb{R}$ che non fosse basata sulla completezza. Ciò lo portò, quasi 20 anni dopo, a scoprire l'argomento diagonale.

Riferimenti.

[C1874]  G. Cantor: Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Crelles Journal 77,  258 - 262 (1874)
[C1891] G. Cantor: Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1: 75–78 (1891)
[M2014] M. Manetti, Topologia (Seconda edizione), Springer Unitext 2014.
[W]  https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor's_diagonal_argument

Patterns that eventually fail

Come dimostrato in un recente post sul numero di regioni in cui un cerchio viene diviso unendo a due a due $n$ punti sulla circonferenza, è sempre rischioso estrapolare una formula sulla base dei primi dati conosciuti.

Un esempio ancora più sorprendente (tratto dalla pagina Twitter di John Carlos Baez, @johncarlosbaez) riguarda la successione di integrali rappresentata in figura. 

Calcolandone i valori per i primi milioni di $n$, si ottiene sempre $\pi/2$. Si sarebbe incautamente tentati di pensare che si ottenga $\pi2$ per ogni valore di $n$, ma di fatto ciò è falso se $$n> e^{101} \cong 7.4  \times 10^{43}.$$ Una spiegazione, basata sull'estrema lentezza della divergenza della serie armonica, è fornita nel blog di Baez [1].

Infatti, questi integrali sono ottenuti modificando i cosiddetti Integrali di Borwein [2], che presentano un pattern concettualmente simile (con la deviazione dal valore $\pi/2$ a partire da $n=15$).

 

Riferimenti.

[1] https://johncarlosbaez.wordpress.com/2018/09/20/patterns-that-eventually-fail/

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Borwein_integral#General_formula

Two is better than one

Le statue che rappresentano un matematico sono piuttosto rare, ma ancora di più lo sono quelle che rappresentano due matematici.

A Ulica Podzamcze, nella città vecchia di Cracovia, esiste un monumento dedicato a Stefan Banach e Otto Nikodym, progettato nel 2016 da Stefan Dousa.  I due sembrano intenti a discutere in modo animato, probabilmente di Analisi Funzionale.

Credits: Wikimedia Commons

Matematici in pillole: Heinz Hopf

Nel 1927 André Weil, allora studente di dottorato a Parigi, era in visita a Berlino, dove gli capitava di compiere lunghi viaggi in tram per recarsi dal suo appartamento all’Università. Nel corso di uno di questi si trovò in compagnia di Heinz Hopf, che stava allora studiando le nuove tecniche di grado topologico introdotte recentemente da Brouwer. 

Ad un certo punto della conversazione, Weil gli chiese: “Di cosa intende occuparsi, quando si stancherà della topologia?”. Al che Hopf, tutto serio, rispose: “Ma io non mi stancherò mai della topologia”.

Fonte.

A. Weil: Souvenirs d’apprendissage, Ch. II.

Suddivisione di un cerchio

Si considerino $n$ punti sul bordo di un cerchio $C$. Qual è il numero massimo di regioni in cui si può suddividere $C$ se si uniscono i punti a due a due con linee rette? 

Per $1, \,2, \,3, \,4, \, 5$ punti si trova facilmente, lavorando un po' con carta e penna, che tale numero è rispettivamente pari a $$1, \, 2, \, 4, \, 8, \,16.$$ Si sarebbe tentati di credere che questa semplice serie di raddoppi continui, e che il numero massimo di regioni sia in ogni caso $2^{n-1}$. Sorprendentemente, questa intuizione si rivela fallace: per $n=6$ si ottiene un numero massimo di regioni pari a $31$ invece che a $32$, come mostra la figura seguente (tratta da [G81]).

Infatti, la formula corretta per il massimo numero di suddivisioni è $$n + \binom{n}{4} + \binom{n-1} {2},$$ i cui valori sono tabulati nella successione OEIS A000127. Tale numero coincide con il numero massimo di regioni in cui lo spazio 4-dimensionale $\mathbb{R}^4$ può essere suddiviso da $n-1$ iperpiani.

Riferimenti

[G81] M. Gardner: Circo Matematico (Sansoni 1981), pp. 203-204.