Il Postulato di Bertrand

Chebyshev said it, but I'll say it again: there's always a prime between $n$ and $2n.$
(N. J. Fine)

Nel 1845, J. Bertrand propose, verificandola sperimentalmente fino al valore $n=3000000$, la seguente congettura, che da allora divenne nota come

Postulato di Bertrand. Dato un numero naturale $n >1$, esiste sempre un numero primo $p$ tale che $n < p <  2n$.

Un immediato corollario è che il gap tra un numero primo e il successivo è minore del doppio del primo stesso; in altre parole, se $\{p_n\}$ indica la successione dei primi, si ha $p_{n+1} < 2p_n$. Un'altra interessante conseguenza è che la successione $\mathbb{P}$ formata da 1 e dai numeri primi è una "successione completa", nel senso che ogni numero naturale può scriversi come somma di elementi di $\mathbb{P}$, usando ogni elemento al più una sola volta.

Il Postulato di Bertrand può essere derivato dal Teorema dei Numeri Primi (TNP), osservando che, siccome $\log x$ è asintotico a $\log 2x$, allora il numero dei primi fra $1$ e $2n$ è asintoticamente il doppio del numero dei primi fra $1$ ed $n$, dunque il numero dei primi fra $n$ e $2n$ va asintoticamente come $2n/2 \log n=n/ \log n$, cioè vi sono in realtà molti più primi fra $n$ e $2n$ da quanto previsto dal Postulato. Tuttavia, quest'ultimo è un risultato molto meno difficile da dimostrare rispetto a TNP, e inoltre ha il suo interesse storico in quanto venne provato prima di esso. Il numero esatto di primi fra $n$ e $2n$ è tabulato nella successione OEIS A060715.

La prima dimostrazione del Postulato di Bertrand venne fornita nel 1852 da P. L. Chebyshev (la prima dimostrazione di TNP è del 1896), utilizzando metodi di Teoria Analitica dei Numeri [5]. Da allora il risultato è anche conosciuto come Teorema di Bertrand-Chebyshev. La dimostrazione di Chebyshev venne successivamente semplificata da S. Ramanujan, che fornì un argomento di una pagina basato su alcune proprietà della funzione Gamma, vedi [3].

P. L. Chebyshev (fonte: Wikipedia)

Nel 1932, nel suo primo articolo pubblicato (all'età di 19 anni) P. Erdős diede la prima dimostrazione elementare del Postulato di Bertrand. Qui "elementare" va inteso nel senso della Teoria dei Numeri, dove il termine non vuol dire "semplice", ma piuttosto "che non utilizza strumenti al di là dell'aritmetica".

Di fatto, la dimostrazione di Erdős  è piuttosto sofisticata, e si basa su una stima accurata dell'esponente con cui un primo $p$ divide il coefficiente binomiale $\binom{2n}{n}$. Tale stima permette di mostrare che, se non esistessero primi fra $n$ e $2n$, allora tale coefficiente crescerebbe asintoticamente meno di quanto atteso, giungendo ad una contraddizione per $n>4000$.

I dettagli possono essere trovati in [2] e nel bel libro [4], che raccoglie una serie di dimostrazioni brevi e particolarmente eleganti, nello stile amato da Erdős. Quest'ultimo pensava infatti che esistesse un Libro nel quale Dio aveva raccolto le dimostrazioni più belle, e che fosse compito dei matematici (ri)scoprirle. In realtà Erdős non era religioso, e a chi gli chiedeva se credesse in Dio soleva rispondere "You don't have to believe in God, but you should believe in The Book."

P. Erdős (fonte: Wikipedia) 

Il paradosso di Bertrand è stato nel corso del tempo generalizzato in varie direzioni. Ad esempio, oggi si sa che esiste sempre un primo fra $2n$ e $3n$ (M. El Bachraoui, 2006) e che esiste sempre un primo fra $3n$ e $4n$ (D. Hanson, 1973). Inoltre, è anche noto che quando $n$ tende all'infinito anche il numero di primi fra $3n$ e $4n$ tende all'infinito (A. Loo, 2011).

Un problema collegato è quello di determinare il minimo esponente $r$ tale che esista sempre un primo fra $n$ e $n+O(n^r)$, per $n$ sufficientemente grande. Il Postulato di Bertrand implica che $r$ è al più $1$, e il miglior risultato oggi disponibile è $r \leq 6/11$ (Lou-Yao, 1992).

E' interessante notare che problemi in apparenza simili al Postulato di Bertrand sono ancora oggi (2018) irrisolti. Ad esempio, non è noto se esista sempre un numero primo fra $n^2$ e $(n+1)^2$; si pensa che la risposta sia affermativa, e questa è nota come congettura di Legendre.

Riferimenti:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_postulate
[2] https://en.wikipedia.org/wi…/Proof_of_Bertrand%27s_postulate
[3] http://mathworld.wolfram.com/BertrandsPostulate.html
[4] M. Aigner, G. M. Ziegler, K. H. Hofmann: Proofs from THE BOOK, Fourth edition, Springer, 2009. ISBN 978-3-642-00855-9.
[5] P. L. Chebychev. Mémoire sur les nombres premiers. Journal de mathématiques pures et appliquées, Sér. 1, 366-390 (1852). (Proof of the postulate: 371-382)
[6] S. Ramanujan "A Proof of Bertrand's Postulate." J. Indian Math. Soc. 11, 181-182 (1919).

Il Problema di Burnside

Un gruppo $G$ si dice "periodico" se ogni elemento di $G$ ha ordine finito, cioè se per ogni $g \in G$ esiste $n=n(g)$ tale che $g^n=1$. Chiaramente ogni gruppo finito è periodico, ma il viceversa non è vero: un controesempio è il gruppo di Prüfer $\mathbb{Z}(p^{\infty})$, ossia il sottogruppo di $\mathbb{C}^{\ast}$ formato da tutte le radici $n$-esime dell'unità, al variare di $n \in \mathbb{N}$.

È facile vedere che il gruppo di Prüfer non può essere finitamente generato. Nel 1902, W. Burnside pose la seguente domanda, che era destinata a diventare uno dei problemi più importanti e fecondi della Teoria dei Gruppi:

Problema generale di Burnside. Sia $G$ un gruppo finitamente generato e periodico. È vero che $G$ è finito?

La risposta risultò essere negativa: infatti, nel 1964 Golod e Shafarevich costruirono un controesempio, ossia un gruppo infinito, finitamente generato e periodico. Più precisamente, essi dimostrarono che per ogni primo $p$ esiste un gruppo infinito con tre generatori in cui ogni elemento ha ordine una potenza di $p$. Tuttavia, in tale controesempio l'ordine di $g \in G$ non può essere uniformemente limitato.

Il controesempio descritto sopra portò a considerare una versione più debole del problema, in cui l'ordine di $g \in G$ è limitato da una costante fissata $n$, ossia $g^n=1$ con $n$ indipendente da $g$. Un tale gruppo è detto "gruppo di esponente $n$". Chiaramente, avere esponente finito implica essere periodico, ma il viceversa non è vero (il gruppo di Prüfer o quelli di Golod-Shafarevich forniscono controesempi). Si può dunque enunciare il

Problema di Burnside I. Sia $G$ un gruppo finitamente generato e di esponente finito. È vero che $G$ è finito?

Questo problema può essere riformulato in modo da considerare una particolare classe di gruppi finitamente generati, i cosiddetti gruppi di Burnside. Se $F_r$ è il gruppo libero su $r$ generatori e $n$ è un numero naturale fissato, definiamo il gruppo di Burnside $B(r, \, n)$ come il quoziente di $F_r$ per le infinite relazioni $\{x^n=1, \, x \in  F_r\}$.

È un esercizio standard di teoria dei gruppi verificare che ogni gruppo con $r$ generatori ed esponente $n$ è un'immagine omomorfa di $B(r, \ n)$, per cui possiamo riformulare il nostro problema come segue:

Problema di Burnside II. Per quali coppie $(r, \, n)$ il gruppo di Burnside $B(r, \, n)$ è finito?

La risposta generale a questo problema non è nota. Nel suo lavoro originale, Burnside notò che $B(1,\, n)$ è il gruppo ciclico di ordine $n$, mentre $B(r, \, 2)$ è il prodotto di $r$ copie di $\mathbb{Z}_2$, quindi in entrambi i casi si ottengono gruppi finiti. Più avanti, venne dimostrato che $B(r, \, 3)$, $B(r, \, 4)$ e $B(r, \, 6)$ sono gruppi finiti per ogni valore di $r$. Ad esempio, $B(r, \,3)$  è isomorfo al gruppo di Heisenberg sul campo con tre elementi, in particolare ha ordine $27$.

Si noti che al momento (2018) non si sa se $B(2, \, 5)$ sia un gruppo finito.

I primi controesempi al Problema di Burnside I vennero forniti da Novikov e Adian nel 1968: essi mostrarono che, per $n$ dispari e maggiore di $4381$, esistono gruppi di Burnside infiniti. Il bound sull'esponente venne poi abbassato da Adian a $665$. Per quanto riguarda il caso di esponente pari, che risultò notevolmente più difficile da trattare, i primi controesempi vennero forniti da S. V. Ivanov nel 1992: egli dimostrò che, per ogni $r >1$ e $n> 2^48$ e divisibile per $2^9$, il gruppo $B(r,\, n)$ è infinito.

Una importante variante del Problema di Burnside è il cosiddetto

Problema di Burnside ristretto. Sia $G$ un gruppo finito con $r$ generatori ed esponente $n$ (ad esempio, un gruppo finito della forma $B(r, \, n)$). È vero che l'ordine di $G$ può essere limitato da una costante che dipende solo da $r, \, n$?

In questo caso la risposta è affermativa, come dimostrato da E. Zelmanov nel 1991. Per questo suo importante risultato, a Zelmanov venne assegnata la medaglia Fields nel 1994.


Riferimenti:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Burnside_problem

[2] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/H…/Burnside_problem.html

[3] http://mathworld.wolfram.com/BurnsideProblem.html

Il Teorema della Base di Hilbert

The theory of invariants came into existence about the middle of the nineteenth century somewhat like Minerva: a grown-up virgin, mailed in the shining armor of algebra, she sprang forth from Cayley's Jovian head.
(H. Weyl)

Uno dei campi di ricerca matematica più attivi alla fine dell'800 era la cosiddetta Teoria degli Invarianti, creata da A. Cayley con il suo seminale lavoro "On the Theory of Linear Transformations" (1845).

In termini moderni, il problema può essere enunciato come segue. Si consideri uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita $n$ su un campo $\mathbb{K}$, e sia $S^r(V)$ la parte in grado $r$ della sua algebra simmetrica. Considerata l'azione naturale del gruppo $\mathsf{SL}(V)$, si vogliono determinare gli elementi di $S^r(V)$ che sono invarianti per tale azione.

Cayley si limitava al caso $V=\mathbb{C}[x_1,\ldots ,x_n]$, per cui $S^r(V)$ era dato dai polinomi omogenei di grado $r$ a coefficienti complessi in $n$ indeterminate, e considerava la sottoalgebra dei polinomi che erano invarianti per l'azione naturale di $\mathsf{SL}_n(\mathbb{C})$. Nella sua terminologia, egli cercava "gli invarianti delle forme $n$-arie di grado $r$". Il primo caso da trattare era ovviamente quello delle forme binarie, ossia dei polinomi omogenei di grado $r$ in $2$ variabili.

Il "re della teoria degli invarianti" era da tutti considerato P. Gordan, che nel 1868 aveva dimostrato, per mezzo di un complesso argomento computazionale, che l'algebra degli invarianti per le forme binarie (di ogni grado) è finitamente generata. I tentativi di Gordan di adattare la sua dimostrazione alle forme con più di due variabili, però, fallirono a causa della enorme complessità dei calcoli da effettuare.

La svolta arrivò 20 anni dopo, nel 1890, quando il giovane D. Hilbert stupì la comunità matematica con l'articolo [Hilb90], nel quale dimostrava il celebre

Teorema di Finitezza di Hilbert. L'algebra degli invarianti delle forme $n$-arie di grado $r$ è finitamente generata per ogni valore di $n, \, r$. 

La dimostrazione di Hilbert giunse come un fulmine a ciel sereno, non solo per la potenza del risultato ma soprattutto per la tecnica utilizzata. Fino ad allora, infatti, tutti gli sforzi per provare la finita generazione degli invarianti erano rivolti alla determinazione di una base esplicita caso per caso. Hilbert, invece, "tagliò il nodo gordiano" dando una dimostrazione esistenziale e non costruttiva, che risolveva tutti gli infiniti casi in un colpo solo.

Il suo argomento si basava su un risultato molto generale e di indipendente interesse, e la cui dimostrazione originale (per assurdo) è sostanzialmente la stessa riportata nei moderni testi di Algebra. Si tratta del celebre

Teorema della Base di Hilbert. Se $\mathbb{K}$ è un campo, ogni ideale di $\mathbb{K}[x_1, \ldots , x_n]$ è finitamente generato.

L'approccio di Hilbert al problema originale fu di applicare il suo Teorema di Finitezza all'ideale $J$ di $\mathbb{C}[x_1, \ldots, x_n]$ generato dai polinomi invarianti di grado positivo, deducendo che deve esistere un insieme finito di invarianti che genera $J$. Dopodiché, utilizzando l'operatore che oggi è chiamato "proiettore di Reynolds", concludeva che questo insieme finito di generatori di $J$ (come ideale) genera di fatto l'intero sottoanello degli invarianti polinomiali.

All'inizio non tutti compresero la portata rivoluzionaria delle argomentazioni di Hilbert. Secondo quanto narrato in [R70],  sembra che lo stesso Gordan si trovò a disagio nei loro confronti, giungendo ad affermare

Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie
(Questa non è matematica. Questa è teologia).

Più tardi, tuttavia, cambiò idea, anche perché nel frattempo Hilbert aveva fornito [Hilb93] un approccio costruttivo al suo Teorema della Base. Gordan giunse anche a semplificare uno dei passaggi nella dimostrazione hilbertiana (infatti, secondo alcuni, il suo paragone  con la teologia non era tanto critico, quanto sottilmente ironico).

Chi capì subito la potenza dei nuovi metodi fu invece F. Klein, secondo il quale il lavoro di Hilbert sugli invarianti era l'articolo più importante mai pubblicato fino ad allora su Mathematische Annalen. Da quel momento, Klein si adoperò in modo che Hilbert ottenesse una cattedra a Gottinga, cosa che avvenne nel 1895.

Dopo questo grande successo, Hilbert cambiò settore di ricerca, dedicandosi alla Teoria dei Numeri. A suo parere, infatti, la teoria degli invarianti era ormai morta. Effettivamente, l'argomento smise di essere soggetto di ricerca per quasi un secolo, e per trovare qualcuno che lo riportasse in vita bisognerà attendere gli anni '60 del '900 con D. Mumford e la sua Geometric Invariant Theory. Ma questa è un'altra storia.


Riferimenti:

[Hilb90] D. Hilbert: Ueber die Theorie der algebraischen Formen, Math. Ann. 36 (1890), 473–534.
[Hilb93] D. Hilbert: Ueber die vollen Invariantensysteme, Math. Ann. 42 (1893) pp. 313–373.
[R70] C. Reid: Hilbert, Springer (1970).

Sfere esotiche

In Matematica, il termine "esotico" viene spesso utilizzato per indicare una l'esistenza di una struttura la cui esistenza è inaspettata, e differente da una ben nota struttura "standard" dello stesso tipo.

Un esempio tipico è quello delle cosiddette sfere esotiche, ovvero varietà differenziabili che sono omeomorfe ma non diffeomeomorfe alla $n$-sfera $S^n$.

I primi esempi vennero costruiti da J. Milnor nel 1957: egli dimostrò che esistono almeno $7$ strutture differenziabli sulla $7$-sfera. La scoperta fu assolutamente sorprendente, come spiega lo stesso Milnor:

"When I came upon such an example in the mid-50s, I was very puzzled and didn't know what to make of it. At first, I thought I'd found a counterexample to the generalized Poincaré conjecture in dimension seven. But careful study showed that the manifold really was homeomorphic to $S^7$. Thus, there exists a differentiable structure on $S^7$ not diffeomorphic to the standard one."

J. Milnor

Gli esempi di Milnor vennero costruiti come $S^3$-fibrazioni su $S^4$. Inoltre, egli fu in grado di dimostrare che le classi di diffeomorfismo di $n$-sfere esotiche con l'operazione di somma connessa formano (gli elementi non banali di) un monoide abeliano finito, indicato con $\Theta_n$, e che tale monoide è un gruppo se $n \neq 4$.

Successivamente, ancora Milnor, insieme a M. Kervaire, dimostrò che $\Theta_7$ è il gruppo ciclico di ordine $28$, in altre parole che esistono $27$ classi di diffeomorfismo di $7$-sfere esotiche (1963). 

Una costruzione esplicita di tali classi venne fornita da E. Brieskorn nel modo seguente (1966). Si consideri l'ipersuperficie affine  $X \subset \mathbb{C}^5$ definita da $$x^2+y^2+z^2+v^2+w^{6k-1}=0.$$ Allora, per $k=1, \, 2, \ldots, 28$, l'intersezione di $X$ con una sfera di raggio sufficientemente piccolo centrata nell'origine fornisce tutte le $28$ strutture differenziabili su $S^7$. Questo fu il primo esempio di quelle che oggi sono note come varietà di Brieskorn.

Un problema naturale è come classificare le sfere esotiche in ogni dimensione, ossia come calcolare l'ordine del gruppo $\Theta_n$. Per $n \neq 4$, esso coincide con l'ordine del gruppo delle classi di cobordismo di (classi di omotopia di) $n$-sfere, e tale ordine fino a $n=63$ è tabulato nella successione OEIS A001676.

Per $n \leq  6$ e $n=12$ non esistono sfere esotiche (ossia l'unica strutture differenziabile su $S^n$ è quella standard, in altre parole $\Theta_n$ è il gruppo banale) mentre in altri casi vi sono milioni di sfere esotiche: ad esempio, l'ordine di $\Theta_{63}$ è $$142211872163171481167115958878208.$$ Non è al momento possibile dare una descrizione completa della struttura di $\Theta_n$ per ogni $n$, dato che non possediamo la conoscenza completa di tutti i gruppi di omotopia di $S^n$.

L'esistenza di strutture esotiche su $S^4$ non è attualmente nota. Si sa che $\Theta_4$ è un monoide abeliano finito o al più numerabile, e in molti sospettano che sia infinito, ma il problema è al momento completamente aperto.

Il Terzo problema di Hilbert (equiscomponibilità dei poliedri)

È noto sin dai tempi dei geometri greci che due poligoni piani di eguale area sono anche equiscomponibili, ossia è possibile decomporre uno di essi in un numero finito di poligoni che, ricomposti, formano l'altro. La dimostrazione è un po' macchinosa ma elementare, e si basa essenzialmente su tre fatti:

$(1)$ ogni poligono si decompone in triangoli;
$(2)$ un triangolo è equiscomponibile con un rettangolo avente stessa base e metà altezza;
$(3)$ l'equiscomponibilità è una relazione d'equivalenza.

Durante la sua famosa conferenza al Congresso di Parigi (1900), D. Hilbert osservò che tutte le dimostrazioni note del fatto che il volume di una piramide è $1/3$ del volume di un parallelepipedo con stessa base e stessa altezza si basano sul principio di Cavalieri o su qualche metodo equivalente (esaustione, calcolo integrale). Egli pose pertanto la seguente domanda, che figurava al terzo posto nella sua famosa lista di $23$ problemi irrisolti e divenne nota come

Terzo Problema di Hilbert. Dati un cubo e un tetraedro aventi lo stesso volume, è possibile decomporre uno di essi in un numero finito di poliedri che, ricomposti, formano l'altro?

Dunque Hilbert chiedeva, sostanzialmente, se poliedri equivalenti fossero anche equiscomponibili, cioè se il risultato noto per i poligoni potesse essere esteso in dimensione $3$.

La risposta negativa arrivò quasi immediatamente (prima ancora che gli atti del congresso di Parigi fossero stampati) ad opera di uno studente di di dottorato di Hilbert, destinato a diventare uno dei più importanti topologi del '900: M. Dehn.

La dimostrazione di Dehn era basata su un argomento molto ingegnoso, che può essere riassunto come segue. Se un poliedro viene tagliato in un numero finito di parti e ricomposto, il volume è chiaramente una quantità che si conserva, ossia un "invariante". Dehn osservò che è possibile definire un'altra quantità che si conserva, una particolare combinazione di lunghezze di spigoli e valori di angoli diedri (misurati in radianti) che oggi si chiama in suo onore invariante di Dehn.

È facile vedere che ogni cubo ha invariante di Dehn pari a zero, mentre l'invariante di Dehn di un tetraedro regolare è non nullo. Pertanto, un cubo e un tetraedro di egual volume non possono mai essere equiscomponibili.

La dimostrazione originale di Dehn, pubblicata in [Dehn1901], venne poco dopo semplificata da Kagan (1903). La risposta definitiva al terzo problema di Hilbert arrivò nel 1965, quando J. P. Sydler dimostrò in [Syd65] che due poliedri in $\mathbb{R}^3$ sono equiscomponibili se e solo se hanno lo stesso volume e lo stesso invariante di Dehn.


Nota biografica. M. Dehn (1878-1952) ricevette il suo dottorato a Gottinga nel 1900, sotto la supervisione di D. Hilbert. Fra i suoi numerosi contributi in topologia, oltre alla risoluzione del Terzo Problema di Hilbert, possiamo annoverare la classificazione topologica delle superfici, la soluzione del problema della parola per i loro gruppi fondamentali e la costruzione del sistema di generatori per il loro Mapping Class Group oggi noto come Dehn twists. Egli introdusse quella che oggi è chiamata la Dehn surgery per produrre nuovi esempi di homology spheres oltre a quello di Poincaré, e fu il primo a dimostrare che il nodo a trifoglio destro non è equivalente a quello sinistro.

Nel 1935, dopo l'avvento al potere dei nazisti, Dehn dovette abbandonare il suo posto di professore a Francoforte e fuggire, prima in Norvegia, poi in Svezia e infine negli Stati Uniti, dove concluse la sua carriera come professore al Black Mountain College (North Carolina).

M. Dehn (fonte: Wikipedia)

Riferimenti:

[Dehn1901] M. Dehn: Ueber den Rauminhalt, Mathematische Annalen 55 (3)(1901), 465–478. doi:10.1007/BF01448001
[Syd65] J-P. Sydler: Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidien à trois dimension, Comment. Math. Helv. 40 (1965), 43–80. doi:10.5169/seals-30629

Il Problema della Parola

Come è ben noto, ogni gruppo $G$ è quoziente di un gruppo libero $F = F(S)$, pertanto è possibile darne una descrizione in termini di generatori e relazioni, in simboli $$G =\langle S \;| \; R \rangle.$$ Gli elementi di $G$ sono parole nei generatori $S$, soggette alle relazioni imposte dall'insieme $R$. Questa è detta una "presentazione" di $G$, e il gruppo si dice "finitamente presentato" se esiste almeno una presentazione tale che $S$ e $R$ hanno entrambi cardinalità finita.

Chiaramente, ogni gruppo finito è finitamente presentato. Ad esempio, il gruppo ciclico di ordine $n$ e il gruppo diedrale di ordine $2n$ hanno rispettive presentazioni $$C_n = \langle x \;| \; x^n=1 \rangle, \quad D_{2n} = \langle x, \, y \;| \; x^n=y^2=(xy)^2=1 \rangle.$$

Lo studio dei gruppi tramite le loro presentazioni costituisce quella che si chiama teoria combinatoria dei gruppi, e uno dei problemi più importanti in tale area è il famoso

Problema della parola. Dato un gruppo finitamente presentato, esiste un algoritmo che permetta di stabilire se due parole rappresentino lo stesso elemento (o, equivalentemente, se una parola rappresenta l'elemento neutro)?

Se gli elementi di $G$ ammettono una unica "forma normale", allora il problema della parola ha risposta affermativa, dato che per stabilire se due parole sono uguali basta confrontarne le rispettive forme normali. Ad esempio, ogni parola nel gruppo diedrale può essere ricondotta alla forma $x^ky^m$, con $k \in \{0, \ldots, n-1\}$ e $m \in \{0, \, 1\}$, e due parole $x^ky^m$,  $x^hy^n$ sono uguali se e solo se $k=h$ e $m=n$.

Il primo a rendersi conto che il problema della parola è importante di per sé, indipendentemente dal particolare gruppo a cui viene applicato, fu M. Dehn (già famoso per avere risolto in senso negativo il terzo problema di Hilbert sull'equiscomponibilità dei poliedri di egual volume) che, nel 1912, fornì anche un algoritmo (basato su tecniche di geometria iperbolica) per risolvere il problema della parola nel caso del gruppo fondamentale di una superficie chiusa, compatta e orientabile di genere almeno $2$.

Quasi quarant'anni dopo, nel 1955, P. Novikov dimostrò che, in generale, il problema della parola è indecidibile anche nel caso di gruppi finitamente presentati [5]; tre anni dopo, un'altra dimostrazione dello stesso fatto venne fornita da W.W. Boone [2]. Si trattava di un risultato sorprendente, in quanto esso forniva il primo esempio di indecidibilità che appariva non in Logica o in Informatica, ma in una branca centrale della matematica come l'Algebra. Successivamente, vari altri autori hanno esplorato i profondi legami che intercorrono fra la teoria combinatoria dei gruppi e quella della decidibilità algoritmica.

Un esempio esplicito di gruppo finitamente presentato avente problema della parola indecidibile si può trovare nella voce [1] linkata in fondo: esso ha $10$ generatori e $27$ relazioni (ma esistono anche esempi con sole $14$ o $12$ relazioni).

Si noti che il risultato di indecidibilità di Novikov non esclude che il problema della parola sia decidibile per particolari classi di gruppi finitamente presentati. Infatti,  si conoscono vari esempi per cui ciò accade: i gruppi finiti, i gruppi iperbolici, i gruppi di trecce, i gruppi euclidei, i gruppi liberi, i gruppi liberi abeliani, i gruppi con una sola relazione (questo è un risultato di Magnus che estende quello di Dehn) e i gruppi residualmente finiti.


Riferimenti.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Word_problem_for_groups
[2] W. W. Boone (1958): The word problem, Proceedings of the National Academy of Sciences 44 (1958), 1061–1065
[3] W. W. Boone, F. B. Cannonito, and R. C. Lyndon: Word Problems: Decision Problem in Group Theory, North-Holland, 1973.
[4] R. C. Lyndon, P. E. Schupp: Combinatorial Group Theory, Springer, 2001.
[5] P. S. Novikov: On the algorithmic unsolvability of the word problem in group theory, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (in Russian), 1955.

Il Teorema di Perron-Frobenius

L'oggetto di questo post  è  un fondamentale risultato di Algebra Lineare, dimostrato da O. Perron nel 1907 e successivamente generalizzato da G. Frobenius nel 1912.

Esso ha svariate applicazioni alla Probabilità (ergodicità delle catene di Markov), alla Teoria dei Sistemi dinamici, alla Teoria dei Giochi, alla Teoria dei Grafi, ai Modelli di Popolazione, all'Economia e (in quella che è forse la sua più spettacolare applicazione) negli algoritmi di Page-Rank per i motori di ricerca Web come Google.

Teorema (Perron-Frobenius). Sia $A$ una matrice reale $n \times n$ a coefficienti tutti positivi. Allora esiste un autovalore reale positivo $r$ di $A$, tale che ogni altro autovalore di $A$ ha modulo strettamente minore di $r$. Inoltre, $r$ è un autovalore semplice per $A$, dunque i corrispondenti autospazi (destro e sinistro) sono $1$-dimensionali. Inoltre, i generatori di tali autospazi possono essere scelti a componenti tutte positive.

L'autovalore $r$ è noto come "radice di Perron-Frobenius", e per definizione esso coincide con il raggio spettrale di $A$. Il comportamento asintotico delle potenze $A^k$ per $k$ che tende all'infinito è pertanto controllato da $r$. Inoltre, se i coefficienti di $A$ sono tutti numeri algebrici allora lo stesso vale per $r$, dato che l'insieme dei numeri algebrici è un sottocampo algebricamente chiuso di $\mathbb{C}$. Pertanto, nel caso in cui $r$ sia in modulo maggiore di $1$, esso è un numero di Perron (cioè, un numero algebrico reale e maggiore di $1$, tale che tutte le sue radici coniugate hanno modulo strettamente minore di $1$).

Esistono in letteratura varie dimostrazioni del teorema di Perron-Frobenius. Ci soffermeremo qui su un semplice e sorprendente argomento topologico, basato sul teorema del punto fisso di Brouwer, che permette di dedurre l'esistenza di un autovalore reale positivo di $A$.

Sia $S^{n-1}$ la sfera $n$-dimensionale in $\mathbb{R}^n$, e consideriamo il sottoinsieme $D$ di $S^{n-1}$ dato dai punti a coordinate tutte non negative. È immediato verificare che $D$ è omeomorfo al disco chiuso $D^{n-1}$: ad esempio, se $n=3$ allora $D$ è il triangolo sferico dato dall'intersezione di $S^2$ con il primo ottante di $\mathbb{R}^3$.

Prendiamo ora l'applicazione lineare $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ data da $\mathbb{x} \mapsto A \mathbb{x}$. Se $\mathbb{x}$ è un elemento di $D$, allora le sue componenti sono tutte non-negative, e almeno una è positiva; pertanto lo stesso vale per le componenti di $A \mathbb{x}$, dato che stiamo supponendo che $A$ sia una matrice ad elementi positivi.

Ciò dimostra che la funzione continua $T(\mathbb{x}):=\frac{A\mathbb{x}}{|A \mathbb{x}|}$ manda $D$ in sè, dunque per il teorema del punto fisso di Brouwer esiste $\mathbb{v} \in D$ tale che $T(\mathbb{v})=\mathbb{v}$. In altre parole $$A \mathbb{v} = |A \mathbb{v}| \cdot \mathbb{v},$$ cioè $\mathbb{v}$ è autovettore per $A$ avente autovalore positivo $|A \mathbb{v}|$.

Bounded gaps between primes

Pure maths is a young man's game.
(G. H. Hardy)

La ben nota Congettura dei Primi Gemelli asserisce che esistono infinite coppie di numeri primi la cui differenza è $2$, come $$(3, \, 5), \; (5, \, 7), \; (11, \, 13), \; (17, \,19), \; (29, \, 31), \; (41, \, 43),  \, (59, \, 61), \ldots$$ Fino a poco tempo fa, la congettura era completamente aperta e nessuno aveva una precisa idea su come affrontarla: ad esempio, non era neanche noto se esistessero infinite coppie di numeri primi la cui differenza fosse limitata superiormente da una costante fissata.

Per tale motivo, la comunità matematica fu fortemente impressionata dai risultati del matematico americano di origine cinese Yitan Zhang, che nel 2013 pubblicò sulla prestigiosa rivista Annals of Matematics l'articolo l'articolo [Zhang14], nel quale dimostrava che esistono infinite coppie di numeri primi che distano fra loro meno di 70 milioni. Per quanto evidentemente molto più debole della congettura dei primi gemelli, il teorema di Zhang rappresentava evidentemente un progresso spettacolare. La tecnica dimostrativa era basata su precedenti risultati di Goldston, Pintz and Yıldırım, e su un raffinamento di un crivello del tipo Bombieri-Vinogradov.

La storia di Zhang è per molti versi peculiare. Innanzitutto, nel 2013 Zhang aveva 58 anni, un'età inusualmente alta per contributi rivoluzionari in Matematica, e l'articolo pubblicato sugli Annals era il suo primo lavoro dal 2001. Inoltre, fino ad allora la sua carriera accademica era stata molto difficoltosa.

Durante la Rivoluzione Culturale in Cina, lui e sua madre vennero spediti per 10 anni a lavorare nei campi. Trasferitosi negli Stati Uniti e ottenuto il suo dottorato a Purdue nel 1991, sotto la direzione di Tzuong-Tsieng Moh, i rapporti con il suo advisor si deteriorarono fino al punto che quest'ultimo rifiutò di scrivergli le "recommendation letters", essenziali nel sistema universitario americano per ottenere una tenure track.  Solo nel 1999, dopo aver svolto anche lavori umili come cameriere in un ristorante e impiegato di motel, riuscì finalmente ad ottenere un impiego come lecturer all'Università del New Hampshire.

I risultati rivoluzionari di Zhang gli garantirono subito fama internazionale e una moltitudine di premi e riconoscimenti. Oltre ad una cattedra come full professor all'università di California Santa Barbara (2015), gli vennero assegnati l'Ostrowski Prize (2013), il Cole Prize (2014), il Rolf Schock Prize (2014), una MacArthur Fellowship (2014) e venne eletto fellow dell'Academia Sinica (2014).

La storia ha una conclusione ugualmente interessante. Il valore di 70 milioni ottenuto da Zhang venne quasi immediatamente abbassato a 600 da J. Maynard, che combinò le idee di Zhang con tecniche dimostrative differenti. Successivamente, venne avviato un progetto di "matematica collettiva", proposto da T. Gowers e noto come Polymath. Il progetto Polymath 8, nel quale erano coinvolti sia Maynard che T. Tao, riuscì ad abbassare il gap da $600$ a $246$, vedi [Polymath 2014a], [Polymath 2014b].

Le tecniche oggi disponibili (2017), sotto l'ipotesi che valga la cosiddetta Congettura di Elliott–Halberstam, permettono di dimostrare che esistono infinite coppie di numeri primi che distano fra loro meno di $6$. Dunque, nonostante gli impressionanti progressi degli ultimi quattro anni, la dimostrazione della Congettura dei Primi Gemelli sembra al momento ancora fuori portata.

Yitan Zhang (fonte Wikipedia)

Riferimenti:

[Zhang14] Y. Zhang: Bounded gaps between primes, Annals of Mathematics 179 (3): (2014), 1121–1174.
[Polymath 2014a] New equidistribution estimates of Zhang type, Algebra & Number Theory 8, 2067–2199 (2014)
[Polymath2014b] Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes, Research in the Mathematical Sciences, Springer (2014)

Inter-universal Teichmüller theory (ovvero, un mistero matematico)

The product of mathematics is clarity and understanding.
(W. Thurston)

Nel 2012, il matematico giapponese S. Mochizuki, dell'Università di Kyoto, pubblicò sulla sua pagina web una serie di quattro preprint nei quali introduceva una serie di nuove costruzioni in geometria aritmetica, da lui chiamate Inter-Universal Teichmüller theory (IUT), o Arithmetic Deformation Theory.

Secondo l'autore, la teoria è una generalizzazione della Geometria Anabeliana, che a sua volta è una delle tre grandi estensioni della Class Field Theory (le altre due sono la Teoria di Langlands e la Higher Class Field Theory). La IUT non usa la teoria analitica dei numeri, ma la sostituisce con la teoria delle funzioni Theta étale (anch'essa sviluppata da Mochizuchi), e lavora con l'intero gruppo di Galois assoluto e i suoi completamenti profiniti.

L'attenzione rivolta dalla comunità matematica alla IUT fu subito elevatissima, in quanto Mochizuchi forniva nei suoi lavori, come applicazione di essa, una dimostrazione della congettura abc, uno dei più importanti problemi aperti in Geometria Diofantea, che a sua volta implica una dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat indipendente da quella di Wiles.
Sembrava essere di fronte ad un'altra situazione in cui un singolo individuo costruisce una nuova e potente teoria in grado di risolvere un famoso problema aperto, in modo simile a quanto fatto da Wiles con la sua dimostrazione di FLT, da Perelman con quella della Congettura di Poincaré e da Y. Zhang per i suoi lavori sui primi a distanza limitata.

Tuttavia, ci si rese subito conto che il paragone non reggeva. I lavori di Wiles, Perelman, Zhang, per quanto tecnicamente molto complicati, erano comunque basati su Matematica ben nota agli esperti, e vennero subito studiati in dettaglio e alla fine accettati come corretti. In relativamente poco tempo, altri matematici li generalizzarono e ne semplificarono alcune parti, scrivendo dei survey e rendendoli, almeno nelle loro linee generali, accessibili anche ai matematici non specialisti. Inoltre, sia Wiles che Zhang che Perelman (quest'ultimo, almeno all'inizio) tennero numerose conferenze e seminari in giro per il mondo per spiegare il significato dei loro risultati, disseminare le loro tecniche e soprattutto delucidare la strategia di fondo alla base della loro dimostrazione.

Nel caso di Mochizuki, la situazione appare ben diversa. Sin dall'inizio, leggendo i suoi preprint, gli esperti di teoria dei numeri si trovarono di fronte ad una giungla impenetrabile di nuove definizioni e concetti ("Hodge Theaters", "Frobenoids", "theta-links"), differente da tutto quanto avessero visto fino ad allora. Alcuni parlarono a tal proposito di "matematica aliena". La strategia di fondo della dimostrazione (complessivamente, 500 pagine densissime) rimaneva elusiva, e il rifiuto di Mochizuki a partecipare a qualsiasi conferenza fuori dal Giappone rendeva le cose ancora più difficili.

Il matematico russo I. Fesenko (Università di Nottingham) organizzò due grandi workshop sulla teoria, uno a Oxford (dicembre 2015) e uno a Kyoto (luglio 2016), ai quali parteciparono molti dei maggiori esperti in geometria diofantea. Entrambi gli incontri furono sostanzialmente un flop: a Oxford, Mochizuki non si presentò, ma si limitò a rispondere alle domande via Skype (si veda il resoconto di B. Conrad pubblicato in questo blog post). A Kyoto invece era presente, ma non riuscì tuttavia a spiegare in modo convincente l'idea alla base della sua nuova teoria.

Fesenko sostiene che oggi "almeno quattro matematici" hanno studiato a fondo la IUT, trovandola corretta; tuttavia, non è ben chiaro chi siano gli altri due (a parte Mochizuki e Fesenko stesso). Inoltre, è di pochi giorni fa la notizia che la "dimostrazione" di Moschizuki è stata accettata per la pubblicazione su Publications of the RIMS, di cui lo stesso Mochizuki è Editor in Chief. Questo non è necessariamente un segnale negativo, ma sicuramente è considerata una procedura inusuale e poco elegante.

A conti fatti, sembra che sia veramente troppo presto per dire che la congettura $abc$ è stata risolta.

S. Moshizuki (fonte: NewScientist)

La Congettura di Poincaré

 Les mathématiques sont l'art de donner le même nom à des choses différentes.
(H. Poincaré)

Ogni varietà compatta, senza bordo e semplicemente connessa di dimensione $3$ è omeomorfa alla sfera $S^3$.

Questo è l'enunciato di quello che fino a pochi anni fa era uno dei problemi aperti più famosi della Matematica. Esso è chiamato Congettura di Poincaré, in quanto venne formulata per la prima volta da H. Poincaré nel 1900, nei lavori che posero le fondamenta per le moderne branche della disciplina conosciute come Topologia Geometrica e Topologia Algebrica.

La versione originaria della congettura era che i numeri di Betti (cioè, le dimensioni dei gruppi di omologia razionali) di una $3$-varietà chiusa fossero sufficienti per stabilire se essa sia omeomorfa alla $3$-sfera. Tuttavia, lo stesso Poincaré produsse nel 1904 un controesempio, esibendo una $3$-varietà compatta e senza bordo che ha lo stesso tipo di omologia di S^3 ma non è ad essa omeomorfa. Questo fu il primo esempio di quelle che oggi sono note come homology spheres.

Si può dimostrare che l'homology sphere di Poincaré ha gruppo fondamentale di ordine $120$, mentre (come è ben noto) $S^3$ è semplicemente connessa. Dunque era naturale chiedersi se imporre la semplice connessione fosse invece sufficiente a garantire l'esistenza di un omeomorfismo di una $3$-varietà chiusa con S^3, e da allora questa è stata la forma standard della congettura (anche se in realtà Poincaré non la enunciò mai esplicitamente come congettura, ma la pose solo come domanda).

H. Poincaré (fonte Wikipedia)

La congettura di Poincaré rimase per un po' di tempo nell'oblio, finché nel 1930 il topologo J. H. C. Whitehead ne pubblicò una dimostrazione, in seguito ritrattata perché errata. Molti altri tentativi di dimostrazione si susseguirono negli anni, spesso da parte di matematici di grande fama (Bing, Haken, Moise, Papakyriakopoulos) e tutti si rivelarono prima o poi fallaci, spesso per motivi molto sottili. Ciò contribuì a rafforzare la fama della Congettura di Poincaré come problema enormemente difficile. Una rassegna delle dimostrazioni sbagliate (e una spiegazione degli errori) può trovarsi nel libro di G. Szpiro Poincaré's Prize.

La svolta arrivò nel 1982, quando R. S. Hamilton propose una possibile dimostrazione della Congettura che usava tecniche di Geometria Riemanniana, invece che di Topologia Algebrica. L'idea era quella di mettere sulla $3$-varietà chiusa e semplicemente connessa una metrica Riemanniana e di farla evolvere sotto l'azione del flusso di Ricci, sperando di trasformarla in una metrica a curvatura costante: questo sarebbe stato sufficiente a concludere, in quanto è noto che una 3-varietà chiusa che possiede una tale metrica deve essere omeomorfa a $S^3$.

Hamilton non fu tuttavia in grado di portare a compimento il suo programma, a causa del fatto che durante l'evoluzione sotto il flusso di Ricci la metrica acquista singolarità, che egli non era in grado di trattare se non in casi particolari. Le necessarie (e spettacolari) tecniche di "surgery" necessarie per ovviare al problema vennero introdotte da G. Perelman nel 2002, in tre e-prints su arXiv che sono rimasti nella storia. In essi, Perelman fu in grado non solo di completare il programma di Hamilton per la congettura di Poincaré, ma dimostrò una congettura molto più generale sulla geometria delle 3-varietà nota come Congettura di Geometrizzazione di Thurston.

Nel 2006 a Perelman venne assegnata la medaglia Fields per i suoi risultati (che egli non volle mai pubblicare su una rivista tradizionale), ma il matematico russo non si presentò alla cerimonia di premiazione a Madrid e rifiutò il premio. Analogo rifiuto venne opposto al premio da un milione di dollari che il Clay Institute offriva a chi avesse risolto uno dei Problemi del Millennio (la Congettura di Poincaré era fra questi).

Non si sa bene cosa di cosa si occupi Perelman in questo momento. Per motivi non ancora chiari (ma estranei all'argomento di questo post) egli ha lasciato nel 2005 il suo lavoro allo Steklov Institute, e da allora ha completamente smesso di frequentare la comunità matematica.

G. Perelman (fonte Wikipedia)

La Congettura di Collatz

La Congettura di Collatz (o Congettura $3n+1$), proposta da L. Collatz nel 1937, è uno dei più famosi problemi aperti in Matematica e può essere enunciata in modo straordinariamente semplice come segue.

Si parta da un qualsiasi intero positivo $a_0=n$; dopodiché, se esso è pari si definisce $a_1= n/2$ mentre se è dispari si definisce $a_1=3n+1$. Si applica poi lo stesso procedimento ad $a_1$ ottenendo $a_2$ e così via. La congettura afferma che, qualunque sia l'intero $n$ da cui si parte, la successione definita per ricorrenza in tal modo raggiunge l'intero $1$ dopo un numero finito di passi.

Ad esempio, partendo da $n=12$ si ha $$12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1,$$ mentre partendo da $n=19$ si ha $$19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.$$ Partendo da $n=27$ sono necessarie ben $111$ iterazioni, e la successione ricorsiva raggiunge $9232$ prima di scendere fino ad $1$:
\begin{equation*}
\begin{split}
& 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, \\
& 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, \\
& 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, \\
& 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, \\
& 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, \\
& 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, \\
& 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, \\
& 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616,  \\
& 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, \\
& 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, \\
& 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
\end{split}
\end{equation*} In generale, il numero di iterazioni necessarie affinché partendo dall'intero positivo $n$ si raggiunga $1$ viene chiamato il "tempo d'arresto di $n$". Pertanto la congettura può essere riformulata dicendo che ogni intero positivo ha un tempo d'arresto finito. I tempi d'arresto dei primi numeri naturali sono tabulati nella successione OEIS A006577:
\begin{equation*}
\begin{split}
& 0, 1, 7, 2, 5, 8, 16, 3, 19, 6, 14, 9, 9, 17, 17, 4, 12, \\
&20, 20, 7, 7, 15, 15, 10, 23, 10, 111, 18, 18, 18, 106, \\
& 5, 26, 13, 13, 21, 21, 21, 34, 8, 109, 8, 29, 16, 16, \ldots
\end{split}
\end{equation*} Nonostante essa possa essere facilmente spiegata a qualsiasi bambino delle scuole elementari, la Congettura di Collatz risulta essere un problema straordinariamente arduo, tant'è che lo stesso P. Erdos affermò che "la Matematica attuale, semplicemente, non è ancora pronta per esso".

Le verifiche sperimentali con l'uso del calcolatore mostrano che essa è vera fino a $n=86 \times 2^{70}$; ovviamente, questo non basta per dedurre che essa è vera per ogni valore di $n$, dato che potrebbe esistere un controesempio il cui ordine di grandezza è inaccessibile agli attuali metodi computazionali.

Un intero $n$ potrebbe fornire un controesempio alla congettura di Collatz in due circostanze: se la successione per ricorrenza definita a partire da $n$ diverge all'infinito, oppure se essa entra in un ciclo diverso dal ciclo banale $(4, \, 2, \, 1)$. Come detto, al momento non si sa se ciò possa accadere; tuttavia, grazie al lavoro di vari autori (Steiner, Simons, de Weger, ...) è stato possibile escludere rigorosamente l'esistenza di cicli non banali di lunghezza fino a $68$.

Inoltre, si sa che per "molti" interi positivi l'iterazione effettivamente termina ad $1$. Più precisamente, Krasikov e Lagarias hanno dimostrato nel 2003 che il numero di interi nell'intervallo $[1, \, x]$ aventi tempo d'arresto finito è almeno proporzionale a $x^{0.84}$.

Serie divergenti: la serie di Grandi

Les séries divergentes sont en général quelque chose de bien fatal et c’est une honte qu’on ose y fonder aucune démonstration.
(N. H. Abel)

Una serie numerica si dice "divergente" se non è convergente, ossia se la successione delle sue somme parziali non ammette limite finito. Come si evince dalla frase di N. H. Abel citata sopra (tratta da una lettera del 1826 al suo insegnante Holmboe) i matematici del passato vedevano le serie divergenti come oggetti infidi e pericolosi che era saggio evitare, in quanto fonte infinita di contraddizioni e paradossi.

Un esempio classico è la ben nota Serie di Grandi $$1-1+1-1+1-1+1-1 \ldots,$$ la cui successione delle somme parziali è $$1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \ldots$$ e la cui "somma" generò infinite (e spesso accese) controversie nel periodo precedente la sistematizzazione rigorosa dell'Analisi Matematica.

Infatti, alcuni raggruppavano la serie nel modo seguente: $$(1-1)+(1-1)+(1-1)+ \ldots$$ ottenendo come risultato $0$, altri preferivano invece scrivere $$1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+ \ldots$$ ottendendo come risultato $1$.

Nel suo libro "Quadratura circula et hyperbolae per infinitas hyperbolas geometrice exhibita" (1703), nel quale la serie venne considerata per la prima volta in modo sistematico, Grandi interpretò questi due risultati contraddittori in chiave religiosa, sostenendo che, se da $0$ si può ottenere $1$, allora anche la creazione del mondo dal nulla è perfettamente plausibile. Più prosaicamente, aveva scoperto che la proprietà associativa dell'addizione non si estende in modo naturale alle somme infinite.

Altri ancora chiamavano $S$ il valore della somma, e scrivevano $$1-S = 1-(1-1+1-1+ \ldots) = S,$$ottenendo in tal modo il valore $S=1/2$.

I sostenitori della risposta $1/2$ osservavano che la serie di Grandi si ottiene ponendo $x= -1$ nella somma della serie geometrica $$\frac{1}{(1-x)}= 1+x+x^2+x^3+x^4+ \ldots$$ Siccome la relazione precedente vale per ogni $x$ con $|x|<1$, per "continuità" essi deducevano che doveva valere anche per $x= -1$, valore per il quale il membro di sinistra è ancora definito. Lo stesso Leibniz commise questo errore, il che mostra quanto potessero essere nebulosi, anche per le migliori menti del periodo, concetti considerati oggi standard come il "raggio di convergenza" e il "prolungamento analitico" di una serie di potenze.

La risposta $1/2$ venne giustificata euristicamente (anche dalla stesso Grandi) osservando che, se un bene materiale viene passato fra due eredi ad intervalli regolari di tempo, allora ciascuno dei due può dire di possederne la metà. Di nuovo, Grandi interpretò la cosa in termini di creazione del cosmo dal nulla (si vede che era un soggetto che gli stava a cuore).

Come osservato opportunamente da G. Hardy, le controversie sulla somma della Serie di Grandi (e su quella delle serie divergenti in generale) terminarono nel momento in cui i matematici smisero di chiedersi "cosa fosse" la somma della serie, e incominciarono a domandarsi "come definirla".  A tale scopo, vennero sviluppati vari metodi per dare un significato al concetto di "somma di una serie divergente", e fu finalmente chiaro che metodi di sommazione differenti possono dare valori differenti.

Siccome le somme parziali della Serie di Grandi sono alternativamente 0 e 1, la serie non ha somma nel senso usuale del termine. Tuttavia, si può ad esempio considerare la somma di Cesàro (1890), nella quale al posto della successione delle somme parziali usuali si prende quella delle loro medie aritmetiche.

Per la serie di Grandi, tali medie aritmetiche sono $$1, \,1/2, \,2/3, \,2/4, \,3/5, \,3/6,\, 4/7, \,4/8, \ldots$$ e questa successione converge ad $1/2$. Dunque la somma di Cesàro della serie di Grandi (o, equivalentemente, della successione $1, \, 0, \,1, \, 0,\, 1,\, 0, \ldots$) è effettivamente $1/2$.

D'altra parte, anche il metodo di raggruppamento dei termini, che fornisce 0 e 1 come "valori", ha un'interpretazione moderna e corretta in termini di "Eilenberg–Mazur swindle", una costruzione usata in Algebra e Topologia Geometrica.

I teologi à la Grandi possono tirare un sospiro di sollievo.

Souvenirs d'apprendissage

Come fare appassionare i giovani alla Matematica, materia che ha la fama (e non completamente a torto) di essere ostica, difficile? Si tratta chiaramente di una domanda senza una risposta univoca, dato che il talento matematico è con ogni probabilità una combinazione di abilità innata ed educazione ricevuta.

Molti matematici di successo hanno provato a spiegare, nella loro autobiografia scientifica, il primo approccio avuto con la materia. Si possono ricordare qui "I want to be a mathematician" di P. Halmos, "Ricordi d'apprendistato" di A. Weil, "Avventure di un matematico" di S. Ulam, "Il teorema vivente" di C. Villani, "Amore e matematica" di E. Frenkel.

Dato l'interesse del loro contenuto, ciascuno di questi libri meriterebbe un post a parte. In ognuno di essi, tuttavia, è presente ad un certo punto un episodio rivelatore, un'epifania riguardo la bellezza e potenza della Matematica, spesso indotta da un docente o da una lettura. Nel libro di Frenkel, ad esempio, l'autore narra della propria frustrazione nel cercare di capire da adolescente la teoria dell'"ottuplice via" di M. Gell-Mann (cioè, la cromodinamica quantistica) sui libri di fisica, e della gioia e sorpresa che provò il giorno in cui si rese conto (grazie ad un libro prestatogli da un professore di Matematica amico di suo padre) che tutto derivava in modo chiaro ed elegante dalla teoria delle rappresentazioni del gruppo di Lie $SU(3)$.

Personalmente, non ricordo di essere stato indirizzato verso i miei studi di Matematica da qualcuno. Di fatto, non trovavo entusiasmante nessuno dei miei professori di scuola media o superiore, e nessuno nella mia famiglia era particolarmente interessato alla disciplina. Tuttavia, nella libreria di mio zio, a casa di mia nonna materna, c'era questo libro "Enigmi e Giochi Matematici" di M. Gardner (solo il Volume 4, chissà perché) e per qualche motivo che ora non saprei dire cominciai a leggerlo, passandovi sopra ore intere. Potevo avere 11-12 anni e, per dirla con i Massimo Volume, "penso che in quel periodo la mia vita fosse tutta lì".

C'erano articoli sul paradosso dell'impiccagione imprevedibile, sul numero e, sui sezionamenti geometrici, sulle spirali, su Flatland, sulla curve ad ampiezza costante, sui giochi d'azzardo, sulle figure auto-similari, di cui ovviamente capivo ben poco. Ma erano scritti in un linguaggio chiaro e coinvolgente, che ammaliava il lettore e non lo lasciava più, lasciandogli intravvedere chissà quali territori meravigliosi da esplorare.

Per molto tempo fui anche convinto che Gardner fosse un matematico professionista, all'epoca non c'era Wikipedia a fornire ogni biografia con un click. Solo molti anni dopo, e con mia grande sorpresa, scoprì che era un abilissimo giornalista scientifico e divulgatore, con una preparazione non specialistica nella materia.

M. Gardner (fonte Wikipedia)

$n$-ple diofantee

Una $n$-pla diofantea è un insieme di $n$ numeri naturali tali che il prodotto di due distinti di essi più $1$ sia un quadrato. La prima quadrupla diofantea $\{1, \, 3,\, 8,\, 120\}$ venne trovata da Fermat. Infatti, abbiamo
\begin{equation*}
\begin{split}
1 \times 3+1 &= 2^2, \quad 1\times 8+1=3^2, \quad 1 \times 120+1 = 11^2, \\
3 \times 8+1 & = 5^2,  \quad 3 \times 120+1= 19^2, \quad 8 \times 120+1 = 31^2.
\end{split}
\end{equation*} La domanda che sorge naturale è quanto lunga possa essere una tale $n$-pla. È noto che vi sono famiglie infinite di quadruple diofantee, alcune delle quali possono essere parametrizzate usando polinomi oppure numeri di Fibonacci. Ad esempio, per ogni numero naturale $k$ si possono considerare le quadruple
\begin{equation*}
\begin{split}
& \{k, \; k+2, \; 4k+4, \; 16k^3+48k^2+44k+12\}, \\
& \{F_{k}, \; F_{k+2}, \; F_{k+4}, \; 4F_{2k+1}F_{2k+2}F_{2k+3} \}.
\end{split}
\end{equation*} Si sa inoltre che ogni tripla diofantea $\{a, \, b, \, c\}$ può essere estesa ad una quadrupla diofantea $\{a, \, b, \, c, \, d\}$. Infatti, ponendo $$ab+1=r^2, \quad ac+1=s^2, \quad bc+1=t^2,$$ basta prendere $d=a+b+c+2abc+2rst$. Non è noto al momento se tutte le quadruple diofantee siano di questa forma.

Un altro problema aperto è l'esistenza di quintuple diofantee. Nel 1969 Baker e Davenport dimostrarono che la quadrupla di Fermat $\{1, \, 3, \, 8, \, 120\}$ non può essere estesa ad una quintupla, e nel 2004 è stato dimostrato che non esistono sestuple diofantee, e che esistono al più un numero finito di quintuple.

L'idea per dimostrare la finitezza delle quintuple diofantee è di ricondursi ad un sistema di due equazioni di Pell, la cui soluzione è ottenuta per mezzo di frazioni continue. Applicando le stime di Baker sui logaritmi di numeri algebrici e alcuni risultati di Petho sui sistemi di congruenze si ottiene un upper bound per il numero delle soluzioni comuni alle due equazioni, e dunque per il numero delle quintuple.

Una generalizzazione delle $n$-ple diofantee è data dalla $n$-ple diofantee razionali, in cui i numeri, invece di essere interi, sono razionali. La prima quadrupla razionale venne considerata dallo stesso Diofanto: $$\{1/16, \, 33/16, \, 17/4, \, 105/16\},$$ e successivamente Eulero trovò famiglie infinite di esse. Circa due secoli dopo, Gibbs (1999) fornì il primo esempio di sestupla razionale $$\{11/192, \, 35/192, \, 155/27, \, 512/27, \, 1235/48, \, 180873/16 \}.$$ Nel 2016, A. Dujella e i suoi collaboratori costruirono famiglie infinite di sestuple razionali, mentre il problema dell'esistenza di una $7$-pla razionale è ancora aperto.

Si rimanda il lettore all'articolo di Dujella citato in bibliografia per maggiori dettagli sull'argomento, e in particolare su come il problema di determinare $n$-ple diofantee razionali possa essere ricondotto ad un problema che riguarda la determinazione di punti razionali su curve ellittiche.

Riferimenti:

A. Dujella: What is...a Diophantine m-tuple? Notices AMS 63 (7), 772–774 (2016)

Quadrati magici

Pochi temi di matematica ricreativa sono noti nella cultura popolare al pari dei quadrati magici. Come tutti sanno, un quadrato magico di ordine $n$ consiste nel disporre i numeri da $1$ a $n^2$ in una griglia quadrata $n \times n$, in modo tale che la somma dei numeri su ogni riga, colonna e diagonale del quadrato sia costante. Un semplice calcolo mostra che tale costante, detta costante magica del quadrato, è $(n^3+n)/2$.

Esistono quadrati magici di ogni ordine maggiore di $2$. Inoltre, dato un quadrato magico, è possibile crearne altri $7$ facendo agire su di esso il gruppo di simmetrie del quadrato, cioè il gruppo diedrale di ordine $8$, e due quadrati magici ottenuti in tal modo (cioè tali che si possa passare dall'uno all'altro per mezzo di una successione finita di rotazioni e riflessioni) sono considerati equivalenti.

Il numero di quadrati magici di ordine n, escludendo rotazioni e riflessioni, cresce rapidamente con l'ordine: per $n = 3, \, 4, \, 5$ si hanno $1, \, 880, \, 275305224$ quadrati magici distinti. Il numero preciso di quadrati magici di ordine 6 non è noto, ma è stimato essere dell'ordine di $1.8 \times 10^{19}$.

Lo studio dei quadrati magici si perde nella notte dei tempi. L'unico quadrato magico di ordine $3$ era già noto ai cinesi nel $600$ A.C., e da essi chiamato lo-shu. Esso è legato a molte leggende, ed è tradizionalmente usato come amuleto. Analogamente, quadrati magici di ordine 4 erano già noti ad arabi e indiani (uno di essi è ad esempio raffigurato nel tempio di Parshvanath) ma la rappresentazione più famosa di un tale quadrato, almeno nell'ambito dell'arte occidentale, è probabilmente quella contenuta nell'incisione Melencholia I di A. Dürer (1514).

Melencholia I

Si tratta di un'opera dal ricco simbolismo, mai completamente spiegato, anche se la maggior parte degli storici dell'arte vede in essa l'allegoria dello stato d'animo depresso del pensatore incapace di passare all'azione. Ciò è in accordo con gli strumenti scientifici e di carpenteria che giacciono inutilizzati ai piedi della figura meditabonda, mentre una sfera e un tetraedro (curiosamente troncato) sembrano suggerire che ogni applicazione pratica si fonda su una base matematica.

Il quadrato magico rappresentato in Melancholia I ha una simmetria aggiuntiva, in quanto ogni numero sommato al numero simmetricamente opposto rispetto al centro dà $17$. Un metodo incredibilmente semplice per scrivere un quadrato magico di questo tipo è il seguente: si scrivano in ordine i numeri da $1$ a $16$ in una griglia quadrata, e poi si invertano le due diagonali rispetto al centro. Il quadrato di Dürer è costruito in questo modo, con in più lo scambio delle due colonne intermedie in modo che al centro del lato in basso del quadrato si legga $1514$, l'anno in cui l'incisione fu realizzata.

Un tipo di quadrato magico ancora più stupefacente di quello simmetrico è il quadrato magico "diabolico", ("panmagic square", in inglese) ossia quello che è magico anche rispetto alle "diagonali spezzate", cioè le diagonali "ricostruibili" accostando due quadrati identici uno rispetto all'altro: per dare un'idea, nel caso di ordine $4$ le celle $2$, $12$, $15$, $5$ formano una diagonale spezzata. I quadrati magici diabolici esistono per tutti i valori di $n$ superiori a $3$, salvo che per quelli divisibili per $2$ ma non per $4$. Ad esempio, non ve n'è nessuno di ordine $6$.

Il numero di quadrati magici diabolici di un dato ordine è molto più basso di quello complessivo di tutti i quadrati magici: ad esempio, a meno di rotazioni e riflessioni vi sono solo $48$ quadrati diabolici di ordine $4$ e $3600$ di ordine $5$ (sequenza OEIS A027567).

Riferimenti:

[1] M.Gardner: Enigmi e Giochi Matematici, vol. 2
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square

Geometria tropicale

La cosiddetta Geometria Tropicale è una branca della geometria relativamente recente, così chiamata in nome dello scienziato brasiliano Imra Simpson, che lavorò a San Paolo e cominciò a per primo a lavorare sull'argomento, motivato da problemi di Informatica.

Lo scopo principale della Geometria Tropicale è quello di trasformare problemi di Geometria Algebrica in problemi di Geometria Combinatoria, attraverso un provedimento detto "tropicalizzazione" che associa ad una varietà algebrica definita su $\mathbb{C}$ un complesso poliedrale reale, che codifica alcune (ma non tutte) le proprietà della varietà complessa di partenza.

Più precisamente, si può pensare alla Geometria Tropicale come ad una Geometria Algebrica sul cosiddetto "semi-anello tropicale", che è definito come l'insieme $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$ con le due operazioni seguenti:
\begin{equation*}
\begin{split}
a \oplus b & = \min(a, \, b)\\
a \otimes b & = a + b.
\end{split}
\end{equation*} In tal modo si possono introdurre i corrispettivi tropicali di molte costruzioni classiche, e parlare di polinomi tropicali, ipersuperfici tropicali e varietà tropicali. Ad esempio, si verifica che il "luogo di zeri" di un polinomio tropicale è un oggetto lineare a tratti, che ha la struttura di un complesso poliedrale su $\mathbb{R}$.

Si dimostra inoltre che non tutti i complessi poliedrali su $\mathbb{R}$ si possono ottenere in tal modo, ma solo quelli che soddisfano alcune condizioni aggiuntive: infatti, le varietà tropicali sono esattamente i complessi poliedrali pesati, interi e bilanciati.

Il vantaggio della Geometria Tropicale è che si possono ridurre difficili problemi geometrico-algebrici a problemi di tipo combinatorio, che (almeno in linea di principio) possono essere risolti per mezzo di un calcolatore. Uno dei primi importanti risultati in Geometria Algebrica ottenuto con metodi tropicali è il Teorema di Mikhalkin (2005) che permette di calcolare il numero di curve algebriche di grado $d$ e genere $g$ passanti per $3d-1+g$ punti generali del piano contando (con opportuna molteplicità) il numero di corrispondenti curve tropicali.

Un altro (equivalente) approccio alla Geometria Tropicale è quello sviluppato da Kapranov, e che utilizza la teoria delle valutazioni. L'esempio da avere in mente è quello di una varietà algebrica $X$ contenuta nel toro $n$-dimensionale $(\mathbb{C}^*)^n$, e di cui si considera l'immagine $X_t$ tramite la mappa logaritmica
\begin{equation*}
\begin{split}
 \mathrm{Log}_t: (\mathbb{C}^*)^n & \to  \mathbb{R}^n \\
 (z_1, \ldots, z_n) & \mapsto  (\log_t(|z1|),...,\log_t(|zn|)).
\end{split}
\end{equation*} Il sottoinsieme $X_t$ di $\mathbb{R}^n$ viene chiamato un'ameba (il nome deriva dal fatto che quando $n=2$ la sua forma è tipicamente quella di un oggetto dendroide). Passando al limite di Hausdorff delle amebe $X_t$ per $t→ = \infty$ si ottiene un complesso poliedrale reale.

Ameba associata al polinomio $3z^2+5zw+w^3+1$.

Questa costruzione può essere generalizzata prendendo al posto di $\mathbb{C}$ un qualsiasi campo $\mathbb{K}$ con una valutazione non-archimedea, e considerando sottovarietà $X$ di $(\mathbb{K}^*)^n$ date dal luogo di zeri di un sistema di polinomi di Laurent nelle coordinate $x_1, \ldots, x_n$. In questo modo è possibile parlare di tropicalizzazioni di varietà algebriche definite su $\mathbb{K}$, e utilizzare i metodi della Geometria Tropicale per studiare ad esempio problemi che nascono nella teoria degli spazi di Berkovich (una generalizzazione degli spazi analitici nel contesto dei campi non archimedei).

Riferimenti:

N. Katz:What is...Tropical Geometry? Notices AMS 64 (4), 2017.

Il 17-mo Problema di Hilbert

Consideriamo un polinomio $f(x_1, \ldots, x_n)$ a coefficienti reali in $n $ indeterminate, ossia un elemento dell'anello $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$. Esso è detto "semi-definito positivo'' se $f(a_1, \ldots, a_n) \geq 0$ per ogni scelta di numeri reali $a_1, \ldots, a_n$.

Un esempio immediato di polinomio semi-definito positivo è un polinomio che si esprime come somma di quadrati di polinomi, ossia un polinomio $f$ della forma $$f=(f_1)^2+ \ldots +(f_k)^2.$$ È naturale chiedersi se questa sia la sola possibilità, e infatti tale domanda è (quasi) il contenuto del 17-mo problema presentato da Hilbert al Congresso Internazionale di Parigi.

(Hilbert, 1900): E' vero che ogni polinomio semi-definito positivo in $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$ è somma di quadrati in $\mathbb{R}(x_1, \ldots, x_n)$?

Si noti che l'enunciato richiede che il polinomio sia somma di quadrati di funzioni razionali, e non, come sembrerebbe più naturale, di quadrati di polinomi. Il motivo è che, già nel 1888, Hilbert era stato in grado di dimostrare che, sostituendo il campo delle funzioni razionali $\mathbb{R}(x_1, \ldots, x_n)$ con l'anello polinomiale $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$, la risposta al problema è necessariamente negativa. Tuttavia, la dimostrazione di Hilbert era puramente esistenziale, e non forniva alcun controesempio esplicito.

Il primo controesempio di tale tipo venne infatti fornito da Motzkin (e riconosciuto come tale da Taussky-Todd) più di 80 anni dopo:

(Motzkin, Taussky-Todd 1967): Il polinomio
$$1+x_1^2 x_2^4+ x_1^4 x_2^2-3x_1^2 x_2^2$$ è semi-definito positivo, ma non può essere scritto come somma di quadrati di polinomi in $\mathbb{R}[x_1, \, x_2]$.

Riguardo il 17-mo Problema di Hilbert, la questione è stata risolta in senso positivo da E. Artin:

(Artin, 1927): Ogni polinomio semi-definito positivo in $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$ è somma di quadrati in $\mathbb{R}(x_1, \ldots, x_n)$.

La dimostrazione originale di Artin è basata sulla teoria dei campi ordinati da lui sviluppata insieme a Schreier. Successivamente, usando tecniche completamente differenti, Pfister fu in grado di dimostrare un risultato più forte che fornisce anche un limite superiore al numero di funzioni razionali necessarie per scrivere f come somma di quadrati:

(Pfister, 1967): Ogni polinomio semi-definito positivo in $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$è somma di al più $2^n$ quadrati in $\mathbb{R}(x_1, \ldots, x_n)$.

Ci si può chiedere se il limite superiore di Pfister è ottimale, ossia se per ogni $n$ esiste un polinomio semi-definito positivo che non si può scrivere come somma di quadrati di $2^n-1$ funzioni razionali. Si sa che la risposta è affermativa quando $n=1$ (dato che $1+x_1^2$ non è un quadrato) e per $n=2$ (infatti, si dimostra che il polinomio di Motskin non è somma di tre quadrati in $\mathbb{R}[x_1, \, x_2]$).
Per $n \geq 3$, invece, il problema è completamente aperto.

Una chiara e dettagliata introduzione al 17-mo problema di Hilbert può trovarsi nell'ottimo survey di O. Benoist "Writing Positive Polynomials as Sums of (Few) Squares", che è stato fonte di ispirazione per questo post.

Il teorema della curva di Jordan

Una curva di Jordan è l'immagine di un'applicazione continua ed iniettiva della circonferenza $S^1$ in $\mathbb{R}^2$. Si può essere tentati di pensare una tale curva come un laccio chiuso, continuo e senza autointersezioni nel piano. Tuttavia, bisogna tenere presente che la definizione data sopra richiede solo la continuità della curva, non la differenziabilità, quindi in essa sono compresi anche oggetti frattali complicati come la curva di Koch (o "curva del fiocco di neve") che non ammettono derivata in nessun punto.

Il teorema della curva di Jordan afferma che

ogni curva di Jordan $C$ divide il piano in due regioni connesse, una delle quali è limitata (l'"interno" della curva) e l'altra è illimitata (l'"esterno"), tali che $C$ sia frontiera per entrambe le componenti.

Si tratta di un enunciato intuitivo ma la cui dimostrazione si è rivelata difficoltosa, anche per via dell'esistenza di curve "patologiche" come quella di Koch. Infatti, la dimostrazione data dallo stesso C. Jordan nel 1887 all'interno del suo famoso Course d'Analyse venne ritenuta insoddisfacente, e la prima dimostrazione che rispetta i moderni canoni di rigore è considerata quella fornita da O. Veblen nel 1905.

I trattamenti forniti nei libri di testo moderni utilizzano in genere i metodi della Topologia Algebrica, in particolare quelli omologici, che permettono di dimostrare anche l'analogo del teorema di Jordan in ogni dimensione, ovvero quello che si chiama il Teorema di Separazione dello Spazio.

Esso afferma che ogni immersione topologica della sfera $n$-dimensionale $S^n$ in $R^{n+1}$ identifica due componenti connesse, una limitata (l'"interno") e l'altra illimitata (l'"esterno"), tali che l'immagine di S^n costituisca la loro frontiera comune.

Un'altra generalizzazione del teorema della Curva di Jordan, detto Teorema di di Jordan–Schönflies, afferma che ogni curva di Jordan in $\mathbb{R}^2$ è equivalente all'immersione standard di $S^1$, cioè alla curva $x^2+y^2=1$, per mezzo di un omeomorfismo del piano.

Abbastanza sorprendentemente, e al contrario del teorema della Curva di Jordan, questo enunciato non ammette estensioni in dimensione superiore. Infatti esiste un'immersione patologica di $S^2$ in $\mathbb{R}^3$ (la cosiddetta "Alexander horned sphere", 1924) tale che il suo complementare non è una regione semplicemente connessa. Ciò implica che la costruzione di Alexander non può essere equivalente all'immersione standard di $S^2$ per mezzo di un omeomorfismo dello spazio, in quanto il complementare di $S^2$ in $\mathbb{R}^3$ è semplicemente connesso.

E' importante notare che l'immersione che fornisce la sfera di Alexander è solo continua, ma non differenziabile. Lo stesso Alexander dimostrò che il Teorema di di Jordan–Schönflies continua a valere in dimensione 3 se si considerano solo immersioni lisce (o lineari a tratti). Storicamente, questa fu una delle prime circostanze in cui venne notata la profonda differenza che intercorre fra il concetto di varietà topologica e quello di varietà differenziabile.

Squaring the square

È possibile suddividere un quadrato di lato intero in un numero finito $n >1$ di quadrati di lati interi fra loro tutti differenti?

Se si, diremo che si è ottenuto un "quadrato perfetto di ordine $n$". Nonostante la definizione ingannevolmente semplice, stabilire l'esistenza di quadrati pefetti si è rivelato un problema difficile e solo in tempi relativamente recenti è stato possibile darne una soluzione. Questo viene in genere chiamato "squaring the square problem", con evidente riferimento scherzoso al problema della quadratura del cerchio ("squaring the circle").

I primi a studiare sistematicamente la questione, fra il 1938 e il 1940, furono R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. H. Stone and W. T. Tutte, ricercatori dell'Università di Cambridge. In modo ingegnoso e sorprendente essi riuscirono a trasformare il problema originale in un problema equivalente di reti elettriche, che poi risolsero applicando le leggi di Kirchhoff.

Il primo quadrato perfetto ottenuto in tal modo aveva ordine $69$; successivamente, un perfezionamento della tecnica permise di ottenere quadrati di ordine $39$.
Più o meno nello stesso periodo, altri ricercatori (R. Sprague, T. H. Willcocks) lavorarono sul problema utilizzando, invece del "metodo teorico" delle reti elettriche, un "metodo empirico" consistente nel combinare fra loro in modo ingegnoso rettangoli perfetti di vario ordine. In particolare, Willcocks costruì in tal modo (1946) un quadrato perfetto di ordine $24$. Occorrerà attendere fino al 1982 per la dimostrazione, ottenuta da J. W. Duijvestijn, P. J. Federico and P. Leeuw, che il minimo ordine possibile per un quadrato perfetto è $21$. Per maggiori dettagli, il lettore può consultare i riferimenti bibliografici citati in fondo al post.

Un affascinante e divertente resoconto di come Brooks, Smith, Stone e Tutte arrivarono al loro metodo delle reti elettriche, scritto dallo stesso Tutte, si può trovare nel Volume 2 di "Enigmi e Giochi Matematici" di M. Gardner.
Nell'appendice all'articolo di Gardner è contenuta anche la dimostrazione (un argomento per assurdo sorprendentemente semplice) che l'analogo problema in dimensione superiore non ha soluzione. In altre parole, non è possibile suddividere un cubo in un numero finito di cubi i cui spigoli abbiano tutti lunghezza differente. La stessa dimostrazione si applica a tutti gli ipercubi di dimensione maggiore di $2$.

Un quadrato perfetto di lato $4205$ e ordine $55$

Riferimenti:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Squaring_the_square

[2] http://mathworld.wolfram.com/PerfectSquareDissection.html
[3] Brooks, R. L.; Smith, C. A. B.; Stone, A. H.; Tutte, W. T.: "The dissection of rectangles into squares". Duke Math. J. 7 (1940), 312–340.

La bottiglia di Klein

Three jolly sailors from Blaydon-on-Tyne
They went to sea in a bottle by Klein.
Since the sea was entirely inside the hull
The scenery seen was exceedingly dull.

Se si identificano a due a due e nella stessa direzione i lati opposti di un quadrato si ottiene un toro. Se una delle due coppie di lati viene identificata in senso opposto, si ottiene invece una superficie compatta e senza bordo che indichiamo con $K$ ed è nota come Bottiglia di Klein ("Kleinsche Flasche", in tedesco), dal nome del matematico Felix Klein che per primo la descrisse nel 1882.
Esplicitamente, la bottiglia di Klein è quindi lo spazio di identificazione ottenuto dal quadrato $[-1, 1] \times  [-1, 1]$ tramite la relazione d'equivalenza $(-1,  \, y) \simeq (1, y)$ e $(x, \, -1) \simeq (-x, \, 1)$.

La bottiglia di Klein costruita come spazio di identificazione

Al contrario del toro e come il nastro di Moebius, la bottiglia di Klein è una superficie non orientabile. Tuttavia, contrariamente al nastro di Moebius, non è possibile immergere la bottiglia di Klein in $\mathbb{R}^3$ (ma è possibile immergerla in $\mathbb{R}^4$). Infatti, ogni realizzazione della bottiglia di Klein in $\mathbb{R}^3$ ha autointersezioni: la superficie è senza bordo ma ad una sola faccia, di modo che non ha senso parlare di "interno" ed "esterno" per essa.
Quindi una nave a forma di bottiglia di Klein non sarebbe molto utile per attraversare il mare, in quanto esso sarebbe contemporaneamente "fuori e dentro" lo scafo (come sperimentato dai tre allegri marinai di Blaydon-on-Tyne del celebre limerick citato sopra).

Una applicazione standard del Teorema di Seifert-Van Kampen mostra che il gruppo fondamentale $\pi_1(K)$ ha due generatori $a, \, b$ soggetti all'unica relazione $aba^{-1}b=1$, dunque si tratta del prodotto semidiretto di due copie di $\mathbb{Z}$ (scritte in notazione moltiplicativa) associato all'automorfismo $b \mapsto b^{-1}$. In particolare esso è infinito e non abeliano.

Quozientando per il sottogruppo dei commutatori si ottiene il gruppo generato da $a,\, b$ con l'unica relazione $b^2 = 1$, e ciò implica che $H_1(K, \, \mathbb{Z})$ è isomorfo al prodotto diretto $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$. Quindi $K$ fornisce un semplice esempio di spazio topologico con gruppo fondamentale non abeliano e avente torsione nel primo gruppo di omologia.

Il sottogruppo $G$ generato da $b, \,a^2$ ha indice $2$ in $\pi_1(K)$, dunque esso corrisponde ad un rivestimento topologico di grado $2$ della bottiglia di Klein. Osserviamo che $ab=(b^{-1})a$ implica $a(b^{-1})=ba$, pertanto
$$a^2b = a(ab) = a(b^{-1})a = baa= ba^2.$$ Ciò vuol dire che $G$ è un gruppo libero abeliano con due generatori, dunque isomorfo a $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$, che è il gruppo fondamentale del toro $T = S^1 \times S^1$.

Il rivestimento doppio $T \to  K$ determinato algebricamente come sopra si può interpretare geometricamente osservando che affiancando due domini fondamentali speculari di una bottiglia di Klein si ottiene il dominio fondamentale di un toro. Questa costruzione mostra anche che il rivestimento universale di $K$ coincide con quello di $T$, cioè è omeomorfo al piano $\mathbb{R}^2$.

Anche se la bottiglia di Klein non ha né interno né esterno, è in realtà possibile bere da essa (o meglio da un suo modello con auto-intersezione in $\mathbb{R}^3$). Modelli di tazze costruite a partire da bottiglie di Klein si trovano ad esempio qui.

Modello di bottiglia di Klein realizzata in vetro soffiato (fonte: ACME Klein bottle)