Less is more

Una "letter of reference" per l'ammissione a Princeton, scritta da Richard Duffin e indirizzata a Solomon Lefschetz (11 febbraio 1948).

Lo studente diciannovenne in questione si chiamava John F. Nash Jr., e la sua presentazione consiste di una singola frase: "He is a mathematical genius".

Fonte: The De Morgan Forum (London Mathematical Society)

La dimostrazione originale di Cantor della non-numerabilità dell'insieme dei numeri reali

 La dimostrazione della non-numerabilità di $\mathbb{R}$ che viene insegnata di solito al primo anno di università è quella basata sul ben noto procedimento diagonale [W], introdotto da Georg Cantor nel 1891 [C1891].

Meno nota è invece la dimostrazione originale di questo profondo risultato, che Cantor pubblicò nel 1874 [C1874] e che vogliamo qui proporre usando la terminologia moderna. Il punto di partenza è il seguente risultato generale di carattere topologico [M2014, Proposizione 4.46], oggi noto come 

Lemma di Cantor. Sia $$K_1 \supset K_2 \supset K_3 \supset \ldots$$ una catena numerabile di chiusi non vuoti e compatti di uno spazio topologico $X$. Allora $$\bigcap_{n \geq 1} K_n \neq \emptyset$$

Dimostrazione. Se il risultato fosse falso, la famiglia $\{K_1-K_n\}_{n \geq 1}$ sarebbe un ricoprimento aperto di $K_1$. Siccome $K_1$ è compatto, si potrebbe estrarre da tale ricoprimento un sottoricoprimento finito, ottenendo $$K_1=\bigcup_{j = 1}^t (K_1-K_{n_j})$$ Ciò implicherebbe $\bigcap_{j = 1}^t K_{n_j}=\emptyset$, una contraddizione dato che tale intersezione è uguale a $K_{n_t}$. $\square$

Osservazione: È importante notare che l'ipotesi di compattezza dei $K_n$ è essenziale, altrimenti si costruiscono facilmente controesempi del tipo $X=\mathbb{R}-\{0\}$ e $K_n=[-1/n, \, 1/n] \cap X$.

Siamo ora pronti ad illustrare l'idea della dimostrazione originale di Cantor.

Teorema (Cantor, 1874). La retta reale è non numerabile.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che $\{x_n\}$ sia una successione che enumera i reali;  dimostreremo che, dato un qualsiasi intervallo $(a, \, b)$, esiste sempre un numero reale $y \in (a, \, b)$ che non appartiene ad essa. 

Si costruiscano in modo ricorsivo due successioni $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ nel modo seguente: siano $a_1$, $b_1$ (con $a_1 <b_1$) i primi due elementi della successione $\{x_n\}$ che sono contenuti in $(a, \, b)$, siano $a_2$, $b_2$ (con $a_2 < b_2$) i primi due elementi della successione che sono contenuti in $(a_1, \, b_1)$,  siano $a_3$, $b_3$ (con $a_3 < b_3$) i primi due elementi della successione che sono contenuti in $(a_2, \, b_2)$ e così via. 

Osserviamo che, dato un qualsiasi elemento $x_n$ della successione originaria, esiste $t \in \mathbb{N}$ tale che  $x_n \notin [a_t, \, b_t]$. Infatti, si scelga $t \in \mathbb{N}$ tale che $a_t=x_k$ e $b_t=x_r$, con $k, \, r >n$; allora, per come sono state costruite le successioni $\{a_n\}$ e $\{b_n\}$, deduciamo $x_n \notin(a_{t-1}, \, b_{t-1})$ e quindi $x_n \notin [a_t, \, b_t]$, come affermato.

Ora, per il Lemma di Cantor sappiamo che  la catena decrescente di compatti $$[a_1, \, b_1] \supset [a_2, \, b_2] \supset [a_3, \, b_3] \supset \ldots$$ ha intersezione non vuota. Se $y$ è un elemento in tale intersezione, per quanto appena detto si ha necessariamente $y \notin \{x_n\}$, contraddizione.   $\square$

Questa elegante dimostrazione usa in modo essenziale il fatto che gli intervalli chiusi di $\mathbb{R}$ sono compatti (il che è equivalente all'Assioma di Completezza), vedi l'Osservazione sopra.  Per tale motivo, Cantor non ne fu pienamente soddisfatto e continuò a cercare una dimostrazione della non-numerabilità di $\mathbb{R}$ che non fosse basata sulla completezza. Ciò lo portò, quasi 20 anni dopo, a scoprire l'argomento diagonale.

Riferimenti.

[C1874]  G. Cantor: Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Crelles Journal 77,  258 - 262 (1874)
[C1891] G. Cantor: Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1: 75–78 (1891)
[M2014] M. Manetti, Topologia (Seconda edizione), Springer Unitext 2014.
[W]  https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor's_diagonal_argument

Patterns that eventually fail

Come dimostrato in un recente post sul numero di regioni in cui un cerchio viene diviso unendo a due a due $n$ punti sulla circonferenza, è sempre rischioso estrapolare una formula sulla base dei primi dati conosciuti.

Un esempio ancora più sorprendente (tratto dalla pagina Twitter di John Carlos Baez, @johncarlosbaez) riguarda la successione di integrali rappresentata in figura. 

Calcolandone i valori per i primi milioni di $n$, si ottiene sempre $\pi/2$. Si sarebbe incautamente tentati di pensare che si ottenga $\pi2$ per ogni valore di $n$, ma di fatto ciò è falso se $$n> e^{101} \cong 7.4  \times 10^{43}.$$ Una spiegazione, basata sull'estrema lentezza della divergenza della serie armonica, è fornita nel blog di Baez [1].

Infatti, questi integrali sono ottenuti modificando i cosiddetti Integrali di Borwein [2], che presentano un pattern concettualmente simile (con la deviazione dal valore $\pi/2$ a partire da $n=15$).

 

Riferimenti.

[1] https://johncarlosbaez.wordpress.com/2018/09/20/patterns-that-eventually-fail/

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Borwein_integral#General_formula

Two is better than one

Le statue che rappresentano un matematico sono piuttosto rare, ma ancora di più lo sono quelle che rappresentano due matematici.

A Ulica Podzamcze, nella città vecchia di Cracovia, esiste un monumento dedicato a Stefan Banach e Otto Nikodym, progettato nel 2016 da Stefan Dousa.  I due sembrano intenti a discutere in modo animato, probabilmente di Analisi Funzionale.

Credits: Wikimedia Commons

Matematici in pillole: Heinz Hopf

Nel 1927 André Weil, allora studente di dottorato a Parigi, era in visita a Berlino, dove gli capitava di compiere lunghi viaggi in tram per recarsi dal suo appartamento all’Università. Nel corso di uno di questi si trovò in compagnia di Heinz Hopf, che stava allora studiando le nuove tecniche di grado topologico introdotte recentemente da Brouwer. 

Ad un certo punto della conversazione, Weil gli chiese: “Di cosa intende occuparsi, quando si stancherà della topologia?”. Al che Hopf, tutto serio, rispose: “Ma io non mi stancherò mai della topologia”.

Fonte.

A. Weil: Souvenirs d’apprendissage, Ch. II.

Suddivisione di un cerchio

Si considerino $n$ punti sul bordo di un cerchio $C$. Qual è il numero massimo di regioni in cui si può suddividere $C$ se si uniscono i punti a due a due con linee rette? 

Per $1, \,2, \,3, \,4, \, 5$ punti si trova facilmente, lavorando un po' con carta e penna, che tale numero è rispettivamente pari a $$1, \, 2, \, 4, \, 8, \,16.$$ Si sarebbe tentati di credere che questa semplice serie di raddoppi continui, e che il numero massimo di regioni sia in ogni caso $2^{n-1}$. Sorprendentemente, questa intuizione si rivela fallace: per $n=6$ si ottiene un numero massimo di regioni pari a $31$ invece che a $32$, come mostra la figura seguente (tratta da [G81]).

Infatti, la formula corretta per il massimo numero di suddivisioni è $$n + \binom{n}{4} + \binom{n-1} {2},$$ i cui valori sono tabulati nella successione OEIS A000127. Tale numero coincide con il numero massimo di regioni in cui lo spazio 4-dimensionale $\mathbb{R}^4$ può essere suddiviso da $n-1$ iperpiani.

Riferimenti

[G81] M. Gardner: Circo Matematico (Sansoni 1981), pp. 203-204.

Matematici in pillole: Laurent Schwartz

Nel 1948, Laurent Schwartz (1915-2002) si recò in Svezia per un ciclo di conferenze sulla Teoria delle Distribuzioni, che aveva creato poco tempo prima. In uno di questi colloqui, ebbe la possibilità di discutere con Marcel Riesz.

Dopo aver scritto alla lavagna la formula di integrazione per parti, allo scopo di illustrare il concetto di derivata debole, venne interrotto da Riesz, che gli disse "I hope you have found something else in your life.”

Fonte.

M. Barany, A.S. Paumier, and J. Lützen: From Nancy to Copenhagen to the World: The internationalization of Laurent Schwartz and his theory of distributions, Historia Mathematica 44, November 2017, Pages 367-394.

Laurent Schwartz (fonte: Wikipedia)

Life isn't supposed to be easy

You have to ignore low-hanging fruits, which is a little tricky. I’m not sure if it’s the best way of doing things, actually you’re torturing yourself along the way. Life isn’t supposed to be easy.
Maryam Mirzakhani 

Source.
E. Klarreich: A Tenacious Explorer of Abstract Surfaces, Quanta Magazine, August 12, 2014.

 

Three years of Sundays

Il 31 ottobre 1903, il matematico americano Frank Nelson Cole si alzò durante una riunione dell'American Mathematical Society per una comunicazione. 

Andò alla lavagna e scrisse da una parte $$2^{67} − 1$$ e, in completo silenzio, svolse il calcolo ottenendo $147573952589676412927$.

Dall'altra parte scrisse $$193707721 × 761838257287$$ e, sempre nel più completo silenzio, svolse il calcolo, ottenendo il medesimo risultato.

Fatto ciò, Cole ritornò al suo posto, senza avere pronunciato una singola parola nel corso di tutta la "dimostrazione", e venne accolto da un applauso scrosciante: aveva appena fatto vedere che il numero di Mersenne $M_{67}$ è composto.

In che modo Cole aveva compiuto la sua impresa, visto che all'epoca i calcolatore elettronici non esistevano? La questione è oggetto di un interessante thread su MathOverflow. Come è facile immaginare, il punto di partenza sta nel Piccolo Teorema di Fermat.

Se $p$ è un primo che divide $2^{67}-1$ e $d$ è l'ordine di $2$ in $\mathbb{F}_p$ allora, dal fatto che

$$2^{67} \equiv 1 \;\; (\textrm{mod } p) \quad  e \quad 2^{p-1} \equiv 1 (\textrm{mod } p)$$segue che $d$ divide MCD($p-1, \, 67$). Ma $d>1$ e $67$ è primo, quindi $d=67$ da cui $67$ divide $p-1$.

Ciò implica che ogni fattore primo $p$ di $2^{67}-1$ è della forma $p=67k+1=134h+1$ (qui $k$ è pari dato che $p$ è dispari). Nonostante questa restrizione sui fattori, Cole affermò che per trovarli esplicitamente aveva dovuto impiegare "le domeniche di tre anni" [3].

Cole fu molto attivo in ambito organizzativo, ricoprendo la carica di segretario dell'AMS a partire dal 1895. Oggi il Cole Prize in Algebra and Number Theory porta il suo nome.

Riferimenti.

[C1903] F. N. Cole: On the factoring of large numbers, Bull. Amer. Math. Soc. 10 (1903), 134–137 .

Frank Nelson Cole (fonte: Wikipedia)

Cheapness

Mathematics is the part of physics where experiments are cheap.

V. I. Arnold

Source:

On teaching mathematics, Uspekhi Mat. Nauk 53 (1998), no. 1, 229-234;

English translation: Russian Math. Surveys 53 (1998), no. 1, 229-236.

Il Teorema di André

Una permutazione alternante dell'insieme $\{1, \ldots, \, n\}$, da non confondersi con una permutazione appartenente al gruppo alterno $\mathsf{A}_n$, è una permutazione $\sigma \in \mathsf{S}_n$ tale che ogni elemento $\sigma(i)$ è alternativamente minore o maggiore del precedente; in altre parole, si ha  $$\sigma(1) < \sigma(2), \quad \sigma(2) > \sigma(3), \quad \sigma(3) < \sigma(4) $$

e così via. Ad esempio, le permutazioni alternanti di $\{1, \, 2, \,  3 \}$ sono $$1, \, 3, \, 2 \quad \quad 2, \, 3, \, 1$$ e quelle di  $\{1, \, 2, \,  3, \, 4 \}$ sono  $$1, \, 3, \, 2, \, 4 \quad \quad 1, \, 4, \, 2, \, 3 \quad \quad 2, \, 3, \, 1, \, 4 \quad \quad 2, \, 4, \, 1, \, 3, \quad \quad 3, \, 4, \, 1, \, 2$$Il numero $A_n$ di permutazioni alternanti di $\{1, \ldots, n\}$ è detto $n$-esimo numero di André , in onore di Désiré André (1840-1917), o anche $n$-esimo numero zig-zag o n-esimo numero up/down. Uno dei risultati più importanti dovuti ad André è la scoperta di una funzione generatrice per tali numeri, ed è noto oggi come 

Teorema di André [A1881]. La somma della serie $$A(x) = \sum_{n=1}^{+ \infty} A_n \frac{x^n}{n!}$$ è data da $$A(x)=\tan\left( \frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)=\sec x + \tan x.$$ Dunque il suo raggio di convergenza è $\frac{\pi}{2}$, da cui si ottiene il comportamento asintotico $$A_n \sim 2 \left(\frac{2}{\pi}\right)^{n + 1} \cdot n!\,. $$

I valori di $A_n$ sono tabulati nella successione OEIS A000111, i cui primi elementi sono $$1, \, 1, \, 2, \, 5, \, 16, \, 61, \, 272, \, 1385, \, 7936, \, 50521, \, \dots$$ È bene notare che la definizione di permutazione alternante data in OEIS è lievemente diversa dalla nostra, dato che vengono ammesse anche le permutazioni tali che $$\sigma(1) > \sigma(2), \quad \sigma(2) < \sigma(3), \quad \sigma(3) > \sigma(4) $$ e così via. Con questa definizione, il numero di permutazioni alternanti è $2A_n$, e i corrispondenti valori sono tabulati in OEIS A001250.

I numeri di André hanno numerosi legami con altri famosi numeri usati in Analisi e Combinatoria. Ad esempio, se $B_k$ è il $k$-esimo numero di Bernoulli, vale la relazione $$B_{2n} =(-1)^{n-1}\frac{2n}{4^{2n}-2^{2n}} A_{2n-1}.$$ Il lettore interessato può consultare la relativa voce Wikipedia per ulteriori informazioni e riferimenti bibliografici.

Riferimenti.
[A1881] D. André: Sur les permutations alternées, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 7 (1881), 167-184.

Eureka

La nota nel diario di Carl Friedrich Gauss datata 10 luglio 1796 (quando Gauss aveva 19 anni). Subito sotto la parte cancellata, si può leggere

EUREKA num(ber) = △ + △ + △

Gauss aveva appena scoperto che ogni numero naturale si può scrivere come somma di tre numeri triangolari.

Riferimenti. 

[1] Gauss Diary, Wikipedia
[2] Jonathan Kujava: Eureka!, 3 Quarks Daily, March 2, 2015

Je n'ai pas le temps

Una pagina del manoscritto sulla teoria delle equazioni redatto da Évariste Galois il 30 maggio 1832, la notte prima del duello nel quale avrebbe perso la vita a soli 20 anni.

In basso a sinistra, sopra la parte cancellata, si può leggere la celebre frase "Il y a quelque chose à completer dans cette démonstration. Je n'ai pas le temps".

Fonte:

Tony Rothman: The short life of Évariste Galois, Scientific American 246, No. 4 (April 1982), p. 138.

Siblings

Il congresso Bourbaki del 1938 a Dieulefit. Da sinistra: Simone Weil, Charles Pisot, André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chabauty, Charles Ehresmann, Jean Delsarte. 

Per tutta la sua breve vita, Simone Weil fu interessata alla Matematica, il cui profondo rigore logico influenzò parte del suo pensiero. Ammirava senza riserve il fratello André, pur non potendo ovviamente seguirlo nella parte tecnica del suo lavoro. 

Resta famosa una lunga lettera (14 pagine) di André a Simone del 1940, nella quale il matematico tenta di spiegare alla sorella filosofa alcuni risultati di Teoria dei Numeri, come la legge di reciprocità quadratica di Gauss e la teoria degli ideali di Kummer.

Fonte: Wikipedia.

Les enfants terribles

André and Simone Weil in Knokkele-Zoute, Belgium, 1922.

Source: Simone Pétrement, La vie de Simone Weil (1973).

Wisdom

A good proof is a proof that makes us wiser.
Yuri Manin

Source: The Berlin Intelligencer, 1998, p. 16–19.

Quadrilateri e tassellazioni

Per la serie "forse non tutti sanno che":

Teorema. Ogni quadrilatero (anche non convesso) può essere usato per tassellare il piano.

Dimostrazione. Si parte da un quadrilatero ABCD, e si ruota di 180 gradi rispetto al punto medio di uno dei lati. Si ripete la costruzione quattro volte, usando ogni volta il punto medio di un lato come centro di rotazione. Siccome la somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360 gradi, alla fine della procedura la figura si chiude senza pezzi mancanti o sovrapposizioni, e il quadrilatero tassella. $\square$

(Molti) più dettagli qui.

Fonte: Math & the art of MC Escher

Il Vieta jumping

Col nome di Vieta jumping (o "root flipping") si indica una tecnica di discesa infinita utilizzata in problemi aritmetici del tipo:

Dati due interi $a$, $b$ che soddisfano una data proprietà $\mathsf{P}$, si dimostri che una certa espressione razionale $R(a, \, b)$ soddisfa una ulteriore proprietà $\mathsf{Q}$.

La forma standard del metodo consiste dei passi seguenti:

• si suppone per assurdo che esistano $a$, $b$  che soddisfano $\mathsf{P}$ e tali che $k:=R(a, \, b)$ non soddisfa $\mathsf{Q}$;
• si sceglie la coppia $(a, \, b)$ come sopra in modo che essa soddisfi una opportuna condizione di minimalità;
• si fissa uno degli elementi della coppia, diciamo $b$, e si sostituisce l'altro con una quantità variabile $x$,  ottenendo una  equazione algebrica in $x$ della forma $R(x, \, b)-k=0$;
• prendendo una radice $\bar{x}$ di tale equazione diversa da $a$, si fa vedere che la nuova coppia $(\bar{x}, \, b)$ soddisfa $\mathsf{P}$ ed è minore di $(a, \, b)$, contraddicendo l'ipotesi di minimalità.

Applichiamo ora il Vieta jumping ad un famoso problema delle Olimpiadi Internazionali di Matematica del 1988, spesso citato per la sua difficoltà. Solo $11$ partecipanti riuscirono a risolverlo, fra i quali la futura Medaglia Fields Ngô Bảo Châu e il futuro professore di Matematica a Stanford Ravi Vakil.

Problema n. 6, IMO 1988. Siamo $a$, $b$ interi positivi tali che $ab+1$ divida $a^2+b^2$. Si dimostri che $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ è un quadrato perfetto.

Soluzione. Si supponga che $a$, $b$ siano tali che l'intero positivo $k:=\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ non sia un quadrato perfetto, e si scelga una coppia $(a, \, b)$ con questa proprietà tale che $a \geq b$ e $a+b$ sia minimo. 

Si fissi $b$ e si sostituisca $a$ con una quantità variabile $x$, ottenendo l'equazione quadratica $$x^2-kbx+b^2-k=0.$$Sappiamo che $x_1=a$ è una soluzione, e indichiamo l'altra soluzione con $x_2$; allora l'espressione di $k$ rimane valida se si sostituisce $a$ con $x_2$, in altre parole $$\frac{x_2^2+b^2}{x_2b+1}=k>0.$$ Da qui segue $x_2b+1 > 0$, e quindi $x_2 \geq 0$, essendo $b>0$ per ipotesi.

Inoltre, dalle usuali formule per la somma e il prodotto delle radici di una equazione di secondo grado, si ricava $$x_2=kb-a, \quad x_2=\frac{b^2-k}{a}.$$ La prima espressione mostra che $x_2$ è un intero, mentre la seconda (e qui sta il punto cruciale) implica che $x_2 >0$, dato che per ipotesi $k$ non è un quadrato perfetto.   

Siccome $a \geq b$, si ottiene $$x_2 = \frac{b^2-k}{a} \leq \frac{a^2-k}{a} <a$$ e quindi $x_2+b < a +b$, contraddicendo la minimalità di $a+b$. $\square$

Characters

I find all of my performances come down to mathematics in a sense—how do you approach the problem of this character? Sometimes I crack that problem, sometimes I don’t. 
Brad Pitt 

Source:
Interview by Elvis Mitchell, February 7, 2012.

Happiness

If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I do mathematics to keep happy.
Alfréd Rény (1921-1970)

Source:
Pál Turán (1970). "The Work of Alfréd Rényi". Matematikai Lapok 21: 199–210.

Hilbert rest space

David Hilbert's grave in Göttingen. On the gravestone is carved his famous motto "Wir mussen wissen. Wir werden wissen" ("We must know. We will know").

Source: Wikimedia Commons

Il teorema di Cayley-Bacharach

Il teorema di Cayley-Bacharach è un sorprendente risultato di geometria proiettiva nel piano riguardante le curve di grado $3$ (cubiche). Esso può essere visto come il più semplice esempio in cui compare l'importante concetto di "sovrabbondanza" di un sistema lineare di curve. L'enunciato è il seguente:

Teorema (Cayley-Bacharach).  Sia $k$ un campo algebricamente chiuso e si considerino nove punti $p_1, \ldots, p_9$ nel piano proiettivo $\mathbb{P}^2(k)$ che siano l'intersezione  di due cubiche $C_1$ e $C_2$. Allora, ogni cubica $C$ che passi per otto qualsiasi dei punti $p_i$ passa necessariamante anche per il nono.

La dimostrazione completa del teorema presenta qualche sottigliezza tecnica, ma l'idea è semplice da comprendere. Esistono esattamente dieci monomi di grado 3 nelle variabili $x_0, \, x_1, \, x_2$, quindi i polinomi omogenei di grado $3$  in tali variabili formano uno spazio vettoriale $V_3$ che ha dimensione $10$ su $k$. Siccome una cubica è definita da un tale polinomio a meno di uno scalare moltiplicativo,  l'insieme delle cubiche (quello che si chiama il "sistema lineare completo") è dato dallo spazio proiettivo $\mathbb{P}(V_3)$, che ha dimensione $9$ su $k$. Pertanto, per nove punti del piano in posizione generale passerà una e una sola cubica.

Consideriamo ora le cubiche che passano per otto dei nove punti $p_i$, diciamo $p_1, \ldots, p_8$. Il conto di parametri considerato prima mostra che vi è uno spazio proiettivo $\mathbb{P}(W) \subset \mathbb{P}(V_3)$ di dimensione almeno $9-8=1$ di cubiche passanti per essi, e la cosa delicata da mostrare è che tale spazio ha dimensione esattamente $1$. Allora, siccome  $C_1$, $C_2$ stanno in $\mathbb{P}(W)$ per definizione, ogni cubica passante per $p_1, \ldots, p_8$ è della forma $\lambda_1 C_1 + \lambda_2 C_2$, con $\lambda_1, \, \lambda_2 \in k$. Ma $C_1$ e $C_2$ passano anche per $p_9$, dunque lo stesso vale per $C$.

Questo argomento mostra che nove punti del piano che stanno sull'intersezione di due cubiche non  sono in posizione generale, dato che impongono solo otto (invece di nove) condizioni lineari alle forme omogenee di grado $3$.  Più precisamente, l'insieme dei nove punti $p_1, \ldots, p_9$ impone alle forme di grado $3$ lo stesso numero di condizioni imposte da otto qualsiasi di essi, e questo è all'origine del fenomeno "otto implica nove" nell'enunciato del teorema.

Ogni cubica (in nero) passante per otto dei nove punti di intersezione delle cubiche blu e rossa passa anche per il nono. Fonte immagine: Wikipedia 

Riferimenti.

[B886] I. Bacharach: Ueber den Cayley'schen Schnittpunktsatz, Mathematische Annalen, 26 (2): 275–299 (1886), doi:10.1007/BF01444338

[W] https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_Bacharach_theorem

Curves

Everyone knows what a curve is, until he has studied enough Mathematics to become confused through the countless number of possible exceptions.

Felix Klein

Original quote:
Was eine Kurve ist, glaubt jeder Mensch zu wissen, bis er so viel Mathematik gelernt hat, daß ihn die unzähligen möglichen Abnormitäten verwirrt gemacht haben.
(Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus, Bd.2)

https://hsm.stackexchange.com/questions/9789/source-for-felix-klein-quote-about-curves

La congettura di Toepliz

Nel 1911, Otto Toepliz [T11] propose la seguente

Congettura. Ogni curva di Jordan (curva piana semplice chiusa) contiene quattro punti che formano i vertici di un quadrato.  

Da allora, essa è nota come Congettura di Toepliz, o Congettura del quadrato inscritto [W], ed è al momento ancora aperta nel caso generale. Risultati di  Arnold Emch [E16] e  Lev Schnirelmann [S44] implicano che essa è vera per curve regolari a tratti, ad esempio per i poligoni. Si noti che non è detto che il quadrato inscritto sia unico: si pensi ad una circonferenza, che contiene infiniti quadrati inscritti.

Come spesso accade con le curve di Jordan, il caso più difficile da trattare è quello delle curve continue ma che non possiedono regolarità maggiore, ad esempio i frattali come la curva di Koch. In tal caso, si potrebbe pensare di approcciare la congettura approssimando la curva con una successione di curve regolari a tratti e passando al limite di una successione di quadrati inscritti in queste ultime; purtroppo, la tecnica non funziona, in quanto il limite può essere un quadrato di lato zero, ossia un punto. 

Esistono diverse varianti della congettura di Toepliz, che si ottengono sostituendo il quadrato con altri tipi di poligoni. È noto ad esempio che ogni curva di Jordan contiene un rettangolo. Di recente, Joshua Evan Greene and Andrew Lobb [GL20] hanno generalizzato i risultati di Emch e Schnirelmann in questo caso, ottenendo il seguente 

Teorema. Data una curva di Jordan liscia $C$ e un rettangolo $R$ nel piano euclideo, esistono quattro punti su $C$ che sono i vertici di un rettangolo simile a $R$.

La storia di questo risultato, ottenuto durante il periodo di quarantena per la pandemia Covid-19, è stata raccontata da Kevin Hartnett in un articolo su Quanta Magazine [H20], a cui si rimanda il lettore per maggiori dettagli.

Fonte immagine: Wikipedia

Riferimenti. 

[E16]  A. Emch: On some properties of the medians of closed continuous curves formed by analytic arcs, American Journal of Mathematics, 38 (1) (1916)

[GL20] J. E: Greene, A. Lobb: The rectangular peg problem, arXiv:2005.09193

[H20] K. Hartnett: New Geometric Perspective Cracks Old Problem About Rectangles, Quanta Magazine (June 2020).

[S44]  L. G. Schnirelmann: On certain geometrical properties of closed curves, Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 10: 34–44 (1944)

[T11] O. Toeplitz: Über einige Aufgaben der Analysis situs, Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft (in German), 94: 197 (1911)

[W] https://en.wikipedia.org/wiki/Inscribed_square_problem

Pitagora, again

Dalla pagina Twitter di Jay Cummings (@LongFormMath): una elegante dimostrazione del Teorema di Pitagora basata sulla similitudine dei triangoli.

Si parte da un triangolo rettangolo di lati $a, \, b, \, c$ e si riscala tre volte di un fattore $a, \, b, \, c$ rispettivamente. Si riassemblano i tre triangoli rettangoli così ottenuti in modo da formare un rettangolo come in figura, e si eguagliano le lunghezze dei due lati orizzontali.

A giant on the shoulders of a giant

Alexander Grothendieck (right) lifting Michael Atiyah (left). Apparently, mid-Sixties.

This picture can be found online, and I like it so much. However, I was unable to identify the original source. Who took it? Who is the young lady on the left?

Foto iconiche: walking in Princeton

Albert Einstein e Kurt Gödel passeggiano lungo la strada che porta all'Institute for Advanced Study (Princeton), 1950 circa.

Durante gli ultimi anni della sua vita, Einstein manifestò una profonda amicizia per Gödel, al punto di affermare che si recava ogni mattina all'Istituto solo per il gusto di conversare con lui.

Gödel, da parte sua, studiò la Relatività Generale, scoprendo alcune soluzioni delle equazioni di campo che ammettono traiettorie chiuse nello spazio-tempo. Einstein fu sempre dell'opinione che tali strani oggetti matematici non avessero significato fisico (dato che violerebbero il principio di causalità), e la loro interpretazione è ancora oggi controversa.

Fonte: Jim Holt, Time bandits: What were Einstein and Gödel talking about?, The New Yorker, February 21, 2005.

Jokes

A good mathematical joke is better, and better mathematics, than a dozen mediocre papers.
J. E. Littlewood, A Mathematician's Miscellany

Il problema del nodo di Conway

Nell'agosto 2018 Lisa Piccirillo, all'epoca studentessa di dottorato ad Austin, Texas, partecipando ad una conferenza di Topologia in dimensione bassa venne a conoscenza di un problema aperto riguardante il cosiddetto nodo di Conway.

Si trattava di stabilire se tale nodo fosse "topologically slice", ovvero (detto in modo un po' impreciso) se fosse possibile ottenerlo come sezione di un nodo in dimensione più alta. Il problema era stato risolto per tutti gli altri nodi con al più 12 intersezioni, ma il nodo di Conway resisteva: tutti gli invarianti topologici, che funzionavano nelle altre situazioni, in questo caso non fornivano nessuna informazione.

Piccirillo si rese conto che poteva applicare al problema alcune tecniche di mutazione di cui era esperta, in modo da costruire un "trace sibling" per il nodo di Conway: se il trace sibling non è slice non lo è neanche il nodo di partenza, ma il trace sibling potrebbe comportarsi meglio rispetto agli invarianti topoologici.

Infatti, per il trace sibling costruito da Piccirillo si può usare l'invariante di Rasmussen in modo da dimostrare che non è slice, quindi neanche il nodo di Conway può esserlo.

Sembra che Piccirillo non fosse completamente consapevole dell'importanza del problema che aveva risolto. Quando raccontò candidamente la sua soluzione a Cameron Gordon, professore a UT Austin, si sentì rispondere "Ma questo va subito su Annals of Mathematics! Come puoi non essere eccitata?"

La soluzione di Piccirillo è apparsa sugli Annals a febbraio di quest'anno. Insieme ai suoi contributi precedenti, ha garantito all'autrice una tenure track al MIT.

Il lettore può trovare molti più dettagli riguardo questa affascinante storia nell'articolo di Erica Klarreich  Graduate Student Solves Decades-Old Conway Knot Problem, pubblicato su Quanta Magazine.

L'in-ellisse di Steiner e il Teorema di Marden

Si consideri un qualsiasi triangolo $ABC$; il seguente semplice ed elegante risultato è dovuto a Jacob Steiner (1796-1863): 

Teorema. Esiste un'unica ellisse $E$ inscritta in $ABC$ e tangente ai lati nei loro punti medi. Inoltre, il centro di $E$ coincide con il baricentro del triangolo.

L'ellisse $E$ è oggi nota come in-ellisse di Steiner. La dimostrazione mostra la potenza delle tecniche basate sulle trasformazioni geometriche. Tramite un'affinità, si trasformi $ABC$ in un triangolo equilatero $A'B'C'$. Siccome ogni affinità manda triangoli in triangoli, baricentri in baricentri, ellissi in ellissi e tangenti in tangenti, è sufficiente dimostrare il teorema per $A'B'C'$, nel qual caso è banale: in un triangolo equilatero, l'in-ellisse di Steiner è l'unica circonferenza inscritta.

Vi è un sorprendente legame fra l'in-ellisse di Steiner e l'analisi complessa, noto come Teorema di Marden. Si consideri un polinomio di una variabile complessa e grado $3$, ossia $p(z)=az^3+bz^2+cz+d$, avente tre radici $A, \, B, \,C$ distinte e  non collineari nel piano complesso $\mathbb{C}$. Per il Teorema di Gauss-Lucas, i due zeri della derivata $p'(z)$ si trovano nell'inviluppo convesso delle radici, che è il trangolo di vertici  $A, \,B, \,C$. Possiamo ora enunciare il

Teorema (di Marden). Gli zeri della derivata di $p'(z)$ sono i fuochi dell'in-ellisse di Steiner del triangolo $ABC$. Inoltre, l'unica radice di $p''(z)$ è il centro di tale ellisse.

Esistono generalizzazioni del Teorema di Marden a polinomi di grado superiore a $3$; il lettore può consultare la corrispondente pagina Wikipedia per ulteriori dettagli.

Un triangolo e la sua in-ellisse di Steiner (fonte: Wikipedia). Nel Teorema di Marden, le radici di $p(z)$ sono i vertici del triangolo (in nero), e quelle di $p'(z)$ sono i fuochi dell'ellisse (in rosso).  La radice di $p''(z)$ è il centro dell'ellisse (il punto medio del segmento con estremi i fuochi, in verde).

La clef des songes

Stamattina mia figlia di sei anni trotterellava per casa portandosi appresso un giocattolo che riproduceva la chiave di accensione di una automobile, con il telecomando per aprire le portiere e tutto il resto. Incuriosito, mi sono avvicinato:

"Giochi a fare il pilota di Formula 1?"

"Ma no, papà, questa è la chiave dei sogni." 

"Ah, vedi, come Grothendieck."

"Eh?"

"No, niente..."

La clef des songes - ou Dialogue avec le Bon Dieu è un manoscritto di 315 pagine, scritto nel 1987, nel quale Alexander Grothendieck, da molti considerato il più grande matematico del ventesimo secolo, analizza il significato dei suoi sogni, deducendo da essi l'esistenza di Dio. Si tratta di un testo importante anche dal punto di vista storico, in quanto contiene molti riferimenti autobiografici, in particolare riguardo l'infanzia di Grothendieck e il suo periodo di internamento con la madre in un campo di concentramento durante la Seconda Guerra Mondiale.

Alcuni di coloro che hanno letto l'opera la ritengono frutto di una mente disturbata; altri (ad esempio, Laurent Lafforgue) la considerano invece un libro profondamente visionario e spirituale, in anticipo rispetto ai suoi tempi.  Qualunque sia la verità, è sicuro che durante gli ultimi anni della sua vita Grothendieck si avvicinò a forme ascetiche di misticismo cristiano, mantenendo anche in questo lo stesso atteggiamento puro e incompromissorio che aveva caratterizzato tutta la sua carriera professionale.

Point of view

When they have trouble understanding a theorem, ordinary mathematicians ask: "What's an example of this?"
Category theorists ask: "What's this an example of?"

John Carlos Baez

Il Teorema di Pick

Uno dei tipici esercizi di geometria assegnati alla scuola elementare o media è calcolare l'area di un poligono i cui vertici si trovano su una griglia regolare. Il procedimento che si adotta  in genere è quello di suddividere il poligono dato in figure geometriche più semplici (triangoli, rettangoli, trapezi) e sommare le rispettive aree.

Potete stupire i vostri figli, amici o insegnanti calcolando l'area con un metodo differente, che si basa su un semplice  e stranamente poco noto risultato di teoria dei reticoli piani, il cosiddetto

Teorema di Pick. Si consideri un poligono piano semplice non intrecciato $P$, i cui vertici giacciano su una griglia regolare formata da quadrati di lato unitario. Allora la sua area è data da $$A(P)=i+\frac{b}{2}-1,$$ dove $i$ è il numero di punti della griglia interni al poligono e $b$ il numero di punti della griglia sul suo bordo, vertici compresi.

Nella figura sottostante si ha un esempio di applicazione: il poligono disegnato ha $i=7, b=8$, da cui $A=10$.

Fonte: Wikipedia

John Horton Conway (1937-2020)

A causa dell'infezione da Covid-19, ieri è scomparso a Princeton John H. Conway, uno dei matematici più creativi ed eclettici del ventesimo secolo.

Impossibile riassumere in poche righe tutti i suoi contributi alla nostra disciplina. Solo a titolo di esempio, si devono a lui i Numeri Surreali, i gruppi semplici sporadici che portano il suo nome, il Game of Life (a cui molti fanno risalire l'origine della teoria degli Automi Cellulari), la Monstrous Moonshine Conjecture in Teoria dei Numeri, il Free Will Theorem in Meccanica Quantistica e tanto altro. 

Foto iconiche: il vecchio e il bambino

Un giovanissimo Terence Tao al lavoro con Paul Erdős (1985).

Credits: Blog of the American Mathematical Society

Il ragno e la mosca

Un classico rompicapo di Henry Dudeney (1903) per far passare un po' il tempo in questi giorni di reclusione forzata. Lo enunciamo nella versione originale, con le misure in piedi (1 piede = 0,3048 metri), vedi [1], [2].

Abbiamo una stanza a forma di parallelepipedo, le cui misure (in piedi) sono $30 \times 12 \times12$. Un ragno (A) si trova a metà di una delle facce $12 \times 12$, a un piede dal soffitto. Una mosca (B) si trova a metà della faccia opposta, ad un piede dal pavimento.

Supponendo che la mosca resti ferma, qual è la lunghezza del minimo tragitto che il ragno deve compiere sulle pareti della stanza (soffitto e pavimento eventualmente compresi) per raggiungerla?

Il problema di Dudeney rientra in quella categoria di rompicapo che sembrano a prima vista difficilissimi da risolvere, per poi diventare sostanzialmente elementari nel momento in cui li si guarda dalla giusta prospettiva.

L'idea è quella di considerare tutti i possibili sviluppi piani del parallelepipedo. Allora il percorso minimo è la minima lunghezza di un percorso lineare fra (A) e (B).  Nel caso specifico, si verifica facilmente che la distanza minima è di $40$ piedi, come mostrato nell'immagine sottostante. Sorprendentemente, il percorso minimo tocca ben cinque delle sei facce del parallelepipedo.

L'immagine è tratta dall'interessante articolo [3], che generalizza il problema ad arbitrarie posizioni di mosca e ragno sulle facce opposte, nel caso particolare in cui il parallelepipedo sia un cubo.

Riferimenti.

[1] https://mathworld.wolfram.com/SpiderandFlyProblem.html

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/The_spider_and_the_fly_problem

[3] R. Goldstone, R. Roca, R. Suzzi Valli: Shortest paths on cubes,
https://arxiv.org/pdf/2003.06096

Matematici in pillole: i fratelli Chudnowsky

I fratelli David Volfovich Chudnovsky (1947) and Gregory Volfovich Chudnovsky (1952) sono due matematici sovietici naturalizzati americani, famosi per essere stati i primi (1989) a calcolare $\pi$ con un miliardo di cifre decimali esatte [1].

Il metodo usato si basa su una variante rapidamente convergente della serie ipergeometrica di Ramanujan, che oggi porta il loro nome [2]: $$\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (545140134k + 13591409)}{(3k)!(k!)^3 \left(640320\right)^{3k + 3/2}}.$$ Due anni dopo, nel 1991, essi infransero la barriera dei due miliardi di cifre decimali esatte, utilizzando un supercomputer costruito con componenti ordinati via posta e assemblato nel loro appartamento di Manhattan.

Gregory soffre sin da giovane di myasthenia gravis, ed è assistito nelle incombenze della vita quotidiana dal fratello David [3].

Riferimenti.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Chudnovsky_brothers
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Chudnovsky_algorithm
[3] The mountains of $\pi$, The New Yorker, March 1992.

Matematici in pillole - Tullio Levi Civita

Il calcolo tensoriale, chiamato all'inizio calcolo differenziale assoluto, venne introdotto dai due matematici italiani Tullio Levi Civita (1873-1941) e Gregorio Ricci Curbastro (1853-1925) nel loro fondamentale lavoro Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications (Mathematische Annalen 54, 1900).

Come è ben noto, esso è alla base della Teoria della Relatività Generale, sviluppata da Albert Einstein nel periodo 1905-1916.

L'ammirazione di Einstein per Levi-Civita era sconfinata. Un giorno, interrogato su cosa gli piacesse di più dell'Italia, il fisico tedesco rispose: "Gli spaghetti e Levi-Civita".

Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/Tullio_Levi-Civita

Gruppi residualmente finiti

Un gruppo $G$ si dice residualmente finito se, per ogni elemento di $g \in G$ diverso dall'identità, esiste un sottogruppo normale  $N$ di indice finito non contenente $g$. 

Ogni gruppo $G$ può essere reso un gruppo topologico prendendo come base di aperti la famiglia di tutti i sottogruppi normali di indice finito (questa è quella che si chiama  la topologia profinita). La condizione che $G$ sia residualmente finito è equivalente a chiedere che la topologia profinita sia Hausdorff [1].

Tutti i gruppi finiti sono ovviamente residualmente finiti (e la corrispondente topologia profinita è quella discreta). I gruppi liberi sono residualmente finiti [2], così come i gruppi nilpotenti finitamente generati. I gruppi nilpotenti non finitamente generati non sono in genere residualmente finiti: si pensi a $\mathbb{Q}$, che è nilpotente ma non ha alcun quoziente finito non banale (essendo $\mathbb{Q}$ un gruppo divisibile, ogni suo quoziente è ancora divisibile).

Un gruppo $G$ di dice hopfiano se ogni epimorfismo $f \colon G \longrightarrow G$ è un isomorfismo. Un importante risultato dovuto a Malcev afferma che ogni gruppo finitamente generato e residualmente finito è hopfiano [3, p. 307]. 

Nel 1963 G. Baumslag and D. Solitar [4] costruirono esempi di gruppi finitamente presentati e non hopfiani; per il teorema di Malcev, questi forniscono anche esempi di gruppi finitamente presentati e non residualmente finiti.
Il più semplice di tale esempi si indica in genere con $BS(2, \, 3)$, ed ammette la seguente semplice presentazione con soli due generatori e una relazione  $$BS(2, \, 3)= \left \langle a, b \ | \ b a^2 b^{-1} = a^3 \right \rangle.$$ Agli antipodi dei gruppi residualmente finiti sono quei gruppi che non possiedono quozienti finiti non banali (equivalentemente, la topologia profinita è quella banale). Un esempio, come ricordato sopra, è il gruppo dei razionali $\mathbb{Q}$. Sorprendentemente, esistono anche esempi finitamente presentati. Il primo ad essere scoperto (1951) è il gruppo di Higman [5], generato da quattro element $a, \, b, \, c, \, d$ soggetti alle relazioni $$a^{-1}ba=b^2,\quad b^{-1}cb=c^2,\quad c^{-1}dc=d^2,\quad d^{-1}ad=a^2.$$

Riferimenti

[1] https://math.stackexchange.com/questions/2220233/a-group-is-residually-finite-iff-profinite-topology-is-hausdorff

[2] https://mathoverflow.net/questions/20471/why-are-free-groups-residually-finite

[3] W. Magnus: Residually finite groups, Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969)

[4] G. Baumslag, D. Solitar: Some two-generator one-relator non-Hopfian groups, Bulletin of the American Mathematical Society 68 (1962)

[5] G. Higman: A finitely generated infinite simple group, Journal of the London Mathematical Society 26 (1951)

Foto iconiche: Andrew Wiles

Il 23 giugno 1993, durante l'ultima di tre lezioni tenute al Newton Institute (Cambridge, UK) nel corso del programma "L-functions and Arithmetic", Andrew Wiles annunciava al mondo la sua soluzione della Congettura di Taniyama-Shimura nel caso semistabile e, come corollario, la dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat.

Come è ben noto, la dimostrazione conteneva un errore, che venne corretto l'anno successivo dallo stesso Wiles, in collaborazione col suo ex-studente Richard Taylor.

Credits: http://www.newton.ac.uk/about/history

Matematici in pillole: V. I. Arnold

Il grande matematico russo V. I. Arnold (1937-2010), noto per i suoi fondamentali lavori sulla meccanica hamiltoniana, la geometria simplettica e la teoria delle singolarità, era anche famoso per le sue affermazioni estreme e a volte intenzionalmente provocatorie. Profondamente convinto che le teorie matematiche nascano dagli esempi e non viceversa, era solito criticare aspramente l'impostazione formalista à la Bourbaki.

Anche il suo metodo di insegnamento era peculiare. Docente chiaro e appassionato, aveva l'abitudine di inserire nelle sue dimostrazioni dei piccoli errori che gli studenti dovevano notare e correggere in tempo reale: questo era il suo concetto di "mantenere alta l'attenzione della classe".

Una volta, invitato dal suo collaboratore  Y. Eliashberg a Syktyvkar per tenere delle lezioni sulla stabilità del pendolo inverso,  dimenticò intenzionalmente di mettere il segno meno nella derivata $(\cos x)'=-\sin x$. Nessuno lo corresse, e lui continuò imperterrito a scrivere fino a quando i conti diventarono impossibili, dato che i termini che dovevano cancellarsi non lo facevano. Irritato, pulì la lavagna e ricominciò il calcolo da capo, stavolta senza commettere errori.

Dopo la lezione, Arnold si lamentò con Eliashberg dello scarso livello di preparazione degli studenti di Syktyvkar rispetto ai suoi studenti di Mosca. Il giorno dopo, alcuni studenti andarono da Eliashberg, lamentandosi a loro volta del fatto che un matematico così famoso non sapesse derivare la funzione coseno.

In rete possono essere trovate molte fotografie di Arnold nell'età matura. Per questo post ho scelto l'immagine di un Arnold giovane, che aveva appena risolto il 13mo problema di Hilbert e che, pochi anni dopo, avrebbe messo la sua firma su quei lavori per i quali sarebbe diventato la "A" nella Teoria KAM.

La foto è del 1957,  Arnold aveva 20 anni.

Fonte: 
B. Khesin, S. Tabachnikov (eds.): Memories of Vladimir Arnold, Notices AMS Vol. 59 (4)

It is not well-defined!

"It's my turn" ("Amarti a New-York", nella solita fedelissima traduzione italiana) è un film americano del 1991, diretto da Claudia Weill.

Si tratta di una commedia romantica "gradevole ma senza troppe pretese" (Mereghetti), che però ha una particolarità: nella scena iniziale, la protagonista Kate (interpretata da Jill Clayburgh) tiene una lezione di Matematica all'Università, nella quale dà una dimostrazione impeccabile del classico Lemma del Serpente ("Snake Lemma") in Algebra Omologica.

La caccia al diagramma è condotta in modo corretto, l'osservazione dello studente "It is not well-defined!" è ragionevole, e la risposta di Kate "It turns out it's well-defined up to the image of alpha" chiarisce perché si ottenga una mappa $\mathrm{ker}(\gamma) \to  \mathrm{coker}(\alpha)$.

Abituato a vedere la Matematica massacrata al cinema da geni ribelli e compagnia bella, incontrare questa scena così realistica in una pellicola commerciale mi ha lasciato (piacevolmente) sconcertato.

Foto iconiche: Alexander Grothedieck

Alexender Grothendieck fa lezione all'IHES, a metà degli anni '60.