Bounded gaps between primes

Pure maths is a young man's game.
(G. H. Hardy)

La ben nota Congettura dei Primi Gemelli asserisce che esistono infinite coppie di numeri primi la cui differenza è $2$, come $$(3, \, 5), \; (5, \, 7), \; (11, \, 13), \; (17, \,19), \; (29, \, 31), \; (41, \, 43),  \, (59, \, 61), \ldots$$ Fino a poco tempo fa, la congettura era completamente aperta e nessuno aveva una precisa idea su come affrontarla: ad esempio, non era neanche noto se esistessero infinite coppie di numeri primi la cui differenza fosse limitata superiormente da una costante fissata.

Per tale motivo, la comunità matematica fu fortemente impressionata dai risultati del matematico americano di origine cinese Yitan Zhang, che nel 2013 pubblicò sulla prestigiosa rivista Annals of Matematics l'articolo l'articolo [Zhang14], nel quale dimostrava che esistono infinite coppie di numeri primi che distano fra loro meno di 70 milioni. Per quanto evidentemente molto più debole della congettura dei primi gemelli, il teorema di Zhang rappresentava evidentemente un progresso spettacolare. La tecnica dimostrativa era basata su precedenti risultati di Goldston, Pintz and Yıldırım, e su un raffinamento di un crivello del tipo Bombieri-Vinogradov.

La storia di Zhang è per molti versi peculiare. Innanzitutto, nel 2013 Zhang aveva 58 anni, un'età inusualmente alta per contributi rivoluzionari in Matematica, e l'articolo pubblicato sugli Annals era il suo primo lavoro dal 2001. Inoltre, fino ad allora la sua carriera accademica era stata molto difficoltosa.

Durante la Rivoluzione Culturale in Cina, lui e sua madre vennero spediti per 10 anni a lavorare nei campi. Trasferitosi negli Stati Uniti e ottenuto il suo dottorato a Purdue nel 1991, sotto la direzione di Tzuong-Tsieng Moh, i rapporti con il suo advisor si deteriorarono fino al punto che quest'ultimo rifiutò di scrivergli le "recommendation letters", essenziali nel sistema universitario americano per ottenere una tenure track.  Solo nel 1999, dopo aver svolto anche lavori umili come cameriere in un ristorante e impiegato di motel, riuscì finalmente ad ottenere un impiego come lecturer all'Università del New Hampshire.

I risultati rivoluzionari di Zhang gli garantirono subito fama internazionale e una moltitudine di premi e riconoscimenti. Oltre ad una cattedra come full professor all'università di California Santa Barbara (2015), gli vennero assegnati l'Ostrowski Prize (2013), il Cole Prize (2014), il Rolf Schock Prize (2014), una MacArthur Fellowship (2014) e venne eletto fellow dell'Academia Sinica (2014).

La storia ha una conclusione ugualmente interessante. Il valore di 70 milioni ottenuto da Zhang venne quasi immediatamente abbassato a 600 da J. Maynard, che combinò le idee di Zhang con tecniche dimostrative differenti. Successivamente, venne avviato un progetto di "matematica collettiva", proposto da T. Gowers e noto come Polymath. Il progetto Polymath 8, nel quale erano coinvolti sia Maynard che T. Tao, riuscì ad abbassare il gap da $600$ a $246$, vedi [Polymath 2014a], [Polymath 2014b].

Le tecniche oggi disponibili (2017), sotto l'ipotesi che valga la cosiddetta Congettura di Elliott–Halberstam, permettono di dimostrare che esistono infinite coppie di numeri primi che distano fra loro meno di $6$. Dunque, nonostante gli impressionanti progressi degli ultimi quattro anni, la dimostrazione della Congettura dei Primi Gemelli sembra al momento ancora fuori portata.

Yitan Zhang (fonte Wikipedia)

Riferimenti:

[Zhang14] Y. Zhang: Bounded gaps between primes, Annals of Mathematics 179 (3): (2014), 1121–1174.
[Polymath 2014a] New equidistribution estimates of Zhang type, Algebra & Number Theory 8, 2067–2199 (2014)
[Polymath2014b] Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes, Research in the Mathematical Sciences, Springer (2014)

Inter-universal Teichmüller theory (ovvero, un mistero matematico)

The product of mathematics is clarity and understanding.
(W. Thurston)

Nel 2012, il matematico giapponese S. Mochizuki, dell'Università di Kyoto, pubblicò sulla sua pagina web una serie di quattro preprint nei quali introduceva una serie di nuove costruzioni in geometria aritmetica, da lui chiamate Inter-Universal Teichmüller theory (IUT), o Arithmetic Deformation Theory.

Secondo l'autore, la teoria è una generalizzazione della Geometria Anabeliana, che a sua volta è una delle tre grandi estensioni della Class Field Theory (le altre due sono la Teoria di Langlands e la Higher Class Field Theory). La IUT non usa la teoria analitica dei numeri, ma la sostituisce con la teoria delle funzioni Theta étale (anch'essa sviluppata da Mochizuchi), e lavora con l'intero gruppo di Galois assoluto e i suoi completamenti profiniti.

L'attenzione rivolta dalla comunità matematica alla IUT fu subito elevatissima, in quanto Mochizuchi forniva nei suoi lavori, come applicazione di essa, una dimostrazione della congettura abc, uno dei più importanti problemi aperti in Geometria Diofantea, che a sua volta implica una dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat indipendente da quella di Wiles.
Sembrava essere di fronte ad un'altra situazione in cui un singolo individuo costruisce una nuova e potente teoria in grado di risolvere un famoso problema aperto, in modo simile a quanto fatto da Wiles con la sua dimostrazione di FLT, da Perelman con quella della Congettura di Poincaré e da Y. Zhang per i suoi lavori sui primi a distanza limitata.

Tuttavia, ci si rese subito conto che il paragone non reggeva. I lavori di Wiles, Perelman, Zhang, per quanto tecnicamente molto complicati, erano comunque basati su Matematica ben nota agli esperti, e vennero subito studiati in dettaglio e alla fine accettati come corretti. In relativamente poco tempo, altri matematici li generalizzarono e ne semplificarono alcune parti, scrivendo dei survey e rendendoli, almeno nelle loro linee generali, accessibili anche ai matematici non specialisti. Inoltre, sia Wiles che Zhang che Perelman (quest'ultimo, almeno all'inizio) tennero numerose conferenze e seminari in giro per il mondo per spiegare il significato dei loro risultati, disseminare le loro tecniche e soprattutto delucidare la strategia di fondo alla base della loro dimostrazione.

Nel caso di Mochizuki, la situazione appare ben diversa. Sin dall'inizio, leggendo i suoi preprint, gli esperti di teoria dei numeri si trovarono di fronte ad una giungla impenetrabile di nuove definizioni e concetti ("Hodge Theaters", "Frobenoids", "theta-links"), differente da tutto quanto avessero visto fino ad allora. Alcuni parlarono a tal proposito di "matematica aliena". La strategia di fondo della dimostrazione (complessivamente, 500 pagine densissime) rimaneva elusiva, e il rifiuto di Mochizuki a partecipare a qualsiasi conferenza fuori dal Giappone rendeva le cose ancora più difficili.

Il matematico russo I. Fesenko (Università di Nottingham) organizzò due grandi workshop sulla teoria, uno a Oxford (dicembre 2015) e uno a Kyoto (luglio 2016), ai quali parteciparono molti dei maggiori esperti in geometria diofantea. Entrambi gli incontri furono sostanzialmente un flop: a Oxford, Mochizuki non si presentò, ma si limitò a rispondere alle domande via Skype (si veda il resoconto di B. Conrad pubblicato in questo blog post). A Kyoto invece era presente, ma non riuscì tuttavia a spiegare in modo convincente l'idea alla base della sua nuova teoria.

Fesenko sostiene che oggi "almeno quattro matematici" hanno studiato a fondo la IUT, trovandola corretta; tuttavia, non è ben chiaro chi siano gli altri due (a parte Mochizuki e Fesenko stesso). Inoltre, è di pochi giorni fa la notizia che la "dimostrazione" di Moschizuki è stata accettata per la pubblicazione su Publications of the RIMS, di cui lo stesso Mochizuki è Editor in Chief. Questo non è necessariamente un segnale negativo, ma sicuramente è considerata una procedura inusuale e poco elegante.

A conti fatti, sembra che sia veramente troppo presto per dire che la congettura $abc$ è stata risolta.

S. Moshizuki (fonte: NewScientist)

La Congettura di Poincaré

 Les mathématiques sont l'art de donner le même nom à des choses différentes.
(H. Poincaré)

Ogni varietà compatta, senza bordo e semplicemente connessa di dimensione $3$ è omeomorfa alla sfera $S^3$.

Questo è l'enunciato di quello che fino a pochi anni fa era uno dei problemi aperti più famosi della Matematica. Esso è chiamato Congettura di Poincaré, in quanto venne formulata per la prima volta da H. Poincaré nel 1900, nei lavori che posero le fondamenta per le moderne branche della disciplina conosciute come Topologia Geometrica e Topologia Algebrica.

La versione originaria della congettura era che i numeri di Betti (cioè, le dimensioni dei gruppi di omologia razionali) di una $3$-varietà chiusa fossero sufficienti per stabilire se essa sia omeomorfa alla $3$-sfera. Tuttavia, lo stesso Poincaré produsse nel 1904 un controesempio, esibendo una $3$-varietà compatta e senza bordo che ha lo stesso tipo di omologia di S^3 ma non è ad essa omeomorfa. Questo fu il primo esempio di quelle che oggi sono note come homology spheres.

Si può dimostrare che l'homology sphere di Poincaré ha gruppo fondamentale di ordine $120$, mentre (come è ben noto) $S^3$ è semplicemente connessa. Dunque era naturale chiedersi se imporre la semplice connessione fosse invece sufficiente a garantire l'esistenza di un omeomorfismo di una $3$-varietà chiusa con S^3, e da allora questa è stata la forma standard della congettura (anche se in realtà Poincaré non la enunciò mai esplicitamente come congettura, ma la pose solo come domanda).

H. Poincaré (fonte Wikipedia)

La congettura di Poincaré rimase per un po' di tempo nell'oblio, finché nel 1930 il topologo J. H. C. Whitehead ne pubblicò una dimostrazione, in seguito ritrattata perché errata. Molti altri tentativi di dimostrazione si susseguirono negli anni, spesso da parte di matematici di grande fama (Bing, Haken, Moise, Papakyriakopoulos) e tutti si rivelarono prima o poi fallaci, spesso per motivi molto sottili. Ciò contribuì a rafforzare la fama della Congettura di Poincaré come problema enormemente difficile. Una rassegna delle dimostrazioni sbagliate (e una spiegazione degli errori) può trovarsi nel libro di G. Szpiro Poincaré's Prize.

La svolta arrivò nel 1982, quando R. S. Hamilton propose una possibile dimostrazione della Congettura che usava tecniche di Geometria Riemanniana, invece che di Topologia Algebrica. L'idea era quella di mettere sulla $3$-varietà chiusa e semplicemente connessa una metrica Riemanniana e di farla evolvere sotto l'azione del flusso di Ricci, sperando di trasformarla in una metrica a curvatura costante: questo sarebbe stato sufficiente a concludere, in quanto è noto che una 3-varietà chiusa che possiede una tale metrica deve essere omeomorfa a $S^3$.

Hamilton non fu tuttavia in grado di portare a compimento il suo programma, a causa del fatto che durante l'evoluzione sotto il flusso di Ricci la metrica acquista singolarità, che egli non era in grado di trattare se non in casi particolari. Le necessarie (e spettacolari) tecniche di "surgery" necessarie per ovviare al problema vennero introdotte da G. Perelman nel 2002, in tre e-prints su arXiv che sono rimasti nella storia. In essi, Perelman fu in grado non solo di completare il programma di Hamilton per la congettura di Poincaré, ma dimostrò una congettura molto più generale sulla geometria delle 3-varietà nota come Congettura di Geometrizzazione di Thurston.

Nel 2006 a Perelman venne assegnata la medaglia Fields per i suoi risultati (che egli non volle mai pubblicare su una rivista tradizionale), ma il matematico russo non si presentò alla cerimonia di premiazione a Madrid e rifiutò il premio. Analogo rifiuto venne opposto al premio da un milione di dollari che il Clay Institute offriva a chi avesse risolto uno dei Problemi del Millennio (la Congettura di Poincaré era fra questi).

Non si sa bene cosa di cosa si occupi Perelman in questo momento. Per motivi non ancora chiari (ma estranei all'argomento di questo post) egli ha lasciato nel 2005 il suo lavoro allo Steklov Institute, e da allora ha completamente smesso di frequentare la comunità matematica.

G. Perelman (fonte Wikipedia)

La Congettura di Collatz

La Congettura di Collatz (o Congettura $3n+1$), proposta da L. Collatz nel 1937, è uno dei più famosi problemi aperti in Matematica e può essere enunciata in modo straordinariamente semplice come segue.

Si parta da un qualsiasi intero positivo $a_0=n$; dopodiché, se esso è pari si definisce $a_1= n/2$ mentre se è dispari si definisce $a_1=3n+1$. Si applica poi lo stesso procedimento ad $a_1$ ottenendo $a_2$ e così via. La congettura afferma che, qualunque sia l'intero $n$ da cui si parte, la successione definita per ricorrenza in tal modo raggiunge l'intero $1$ dopo un numero finito di passi.

Ad esempio, partendo da $n=12$ si ha $$12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1,$$ mentre partendo da $n=19$ si ha $$19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.$$ Partendo da $n=27$ sono necessarie ben $111$ iterazioni, e la successione ricorsiva raggiunge $9232$ prima di scendere fino ad $1$:
\begin{equation*}
\begin{split}
& 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, \\
& 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, \\
& 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, \\
& 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, \\
& 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, \\
& 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, \\
& 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, \\
& 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616,  \\
& 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, \\
& 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, \\
& 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
\end{split}
\end{equation*} In generale, il numero di iterazioni necessarie affinché partendo dall'intero positivo $n$ si raggiunga $1$ viene chiamato il "tempo d'arresto di $n$". Pertanto la congettura può essere riformulata dicendo che ogni intero positivo ha un tempo d'arresto finito. I tempi d'arresto dei primi numeri naturali sono tabulati nella successione OEIS A006577:
\begin{equation*}
\begin{split}
& 0, 1, 7, 2, 5, 8, 16, 3, 19, 6, 14, 9, 9, 17, 17, 4, 12, \\
&20, 20, 7, 7, 15, 15, 10, 23, 10, 111, 18, 18, 18, 106, \\
& 5, 26, 13, 13, 21, 21, 21, 34, 8, 109, 8, 29, 16, 16, \ldots
\end{split}
\end{equation*} Nonostante essa possa essere facilmente spiegata a qualsiasi bambino delle scuole elementari, la Congettura di Collatz risulta essere un problema straordinariamente arduo, tant'è che lo stesso P. Erdos affermò che "la Matematica attuale, semplicemente, non è ancora pronta per esso".

Le verifiche sperimentali con l'uso del calcolatore mostrano che essa è vera fino a $n=86 \times 2^{70}$; ovviamente, questo non basta per dedurre che essa è vera per ogni valore di $n$, dato che potrebbe esistere un controesempio il cui ordine di grandezza è inaccessibile agli attuali metodi computazionali.

Un intero $n$ potrebbe fornire un controesempio alla congettura di Collatz in due circostanze: se la successione per ricorrenza definita a partire da $n$ diverge all'infinito, oppure se essa entra in un ciclo diverso dal ciclo banale $(4, \, 2, \, 1)$. Come detto, al momento non si sa se ciò possa accadere; tuttavia, grazie al lavoro di vari autori (Steiner, Simons, de Weger, ...) è stato possibile escludere rigorosamente l'esistenza di cicli non banali di lunghezza fino a $68$.

Inoltre, si sa che per "molti" interi positivi l'iterazione effettivamente termina ad $1$. Più precisamente, Krasikov e Lagarias hanno dimostrato nel 2003 che il numero di interi nell'intervallo $[1, \, x]$ aventi tempo d'arresto finito è almeno proporzionale a $x^{0.84}$.

Serie divergenti: la serie di Grandi

Les séries divergentes sont en général quelque chose de bien fatal et c’est une honte qu’on ose y fonder aucune démonstration.
(N. H. Abel)

Una serie numerica si dice "divergente" se non è convergente, ossia se la successione delle sue somme parziali non ammette limite finito. Come si evince dalla frase di N. H. Abel citata sopra (tratta da una lettera del 1826 al suo insegnante Holmboe) i matematici del passato vedevano le serie divergenti come oggetti infidi e pericolosi che era saggio evitare, in quanto fonte infinita di contraddizioni e paradossi.

Un esempio classico è la ben nota Serie di Grandi $$1-1+1-1+1-1+1-1 \ldots,$$ la cui successione delle somme parziali è $$1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \ldots$$ e la cui "somma" generò infinite (e spesso accese) controversie nel periodo precedente la sistematizzazione rigorosa dell'Analisi Matematica.

Infatti, alcuni raggruppavano la serie nel modo seguente: $$(1-1)+(1-1)+(1-1)+ \ldots$$ ottenendo come risultato $0$, altri preferivano invece scrivere $$1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+ \ldots$$ ottendendo come risultato $1$.

Nel suo libro "Quadratura circula et hyperbolae per infinitas hyperbolas geometrice exhibita" (1703), nel quale la serie venne considerata per la prima volta in modo sistematico, Grandi interpretò questi due risultati contraddittori in chiave religiosa, sostenendo che, se da $0$ si può ottenere $1$, allora anche la creazione del mondo dal nulla è perfettamente plausibile. Più prosaicamente, aveva scoperto che la proprietà associativa dell'addizione non si estende in modo naturale alle somme infinite.

Altri ancora chiamavano $S$ il valore della somma, e scrivevano $$1-S = 1-(1-1+1-1+ \ldots) = S,$$ottenendo in tal modo il valore $S=1/2$.

I sostenitori della risposta $1/2$ osservavano che la serie di Grandi si ottiene ponendo $x= -1$ nella somma della serie geometrica $$\frac{1}{(1-x)}= 1+x+x^2+x^3+x^4+ \ldots$$ Siccome la relazione precedente vale per ogni $x$ con $|x|<1$, per "continuità" essi deducevano che doveva valere anche per $x= -1$, valore per il quale il membro di sinistra è ancora definito. Lo stesso Leibniz commise questo errore, il che mostra quanto potessero essere nebulosi, anche per le migliori menti del periodo, concetti considerati oggi standard come il "raggio di convergenza" e il "prolungamento analitico" di una serie di potenze.

La risposta $1/2$ venne giustificata euristicamente (anche dalla stesso Grandi) osservando che, se un bene materiale viene passato fra due eredi ad intervalli regolari di tempo, allora ciascuno dei due può dire di possederne la metà. Di nuovo, Grandi interpretò la cosa in termini di creazione del cosmo dal nulla (si vede che era un soggetto che gli stava a cuore).

Come osservato opportunamente da G. Hardy, le controversie sulla somma della Serie di Grandi (e su quella delle serie divergenti in generale) terminarono nel momento in cui i matematici smisero di chiedersi "cosa fosse" la somma della serie, e incominciarono a domandarsi "come definirla".  A tale scopo, vennero sviluppati vari metodi per dare un significato al concetto di "somma di una serie divergente", e fu finalmente chiaro che metodi di sommazione differenti possono dare valori differenti.

Siccome le somme parziali della Serie di Grandi sono alternativamente 0 e 1, la serie non ha somma nel senso usuale del termine. Tuttavia, si può ad esempio considerare la somma di Cesàro (1890), nella quale al posto della successione delle somme parziali usuali si prende quella delle loro medie aritmetiche.

Per la serie di Grandi, tali medie aritmetiche sono $$1, \,1/2, \,2/3, \,2/4, \,3/5, \,3/6,\, 4/7, \,4/8, \ldots$$ e questa successione converge ad $1/2$. Dunque la somma di Cesàro della serie di Grandi (o, equivalentemente, della successione $1, \, 0, \,1, \, 0,\, 1,\, 0, \ldots$) è effettivamente $1/2$.

D'altra parte, anche il metodo di raggruppamento dei termini, che fornisce 0 e 1 come "valori", ha un'interpretazione moderna e corretta in termini di "Eilenberg–Mazur swindle", una costruzione usata in Algebra e Topologia Geometrica.

I teologi à la Grandi possono tirare un sospiro di sollievo.

Souvenirs d'apprendissage

Come fare appassionare i giovani alla Matematica, materia che ha la fama (e non completamente a torto) di essere ostica, difficile? Si tratta chiaramente di una domanda senza una risposta univoca, dato che il talento matematico è con ogni probabilità una combinazione di abilità innata ed educazione ricevuta.

Molti matematici di successo hanno provato a spiegare, nella loro autobiografia scientifica, il primo approccio avuto con la materia. Si possono ricordare qui "I want to be a mathematician" di P. Halmos, "Ricordi d'apprendistato" di A. Weil, "Avventure di un matematico" di S. Ulam, "Il teorema vivente" di C. Villani, "Amore e matematica" di E. Frenkel.

Dato l'interesse del loro contenuto, ciascuno di questi libri meriterebbe un post a parte. In ognuno di essi, tuttavia, è presente ad un certo punto un episodio rivelatore, un'epifania riguardo la bellezza e potenza della Matematica, spesso indotta da un docente o da una lettura. Nel libro di Frenkel, ad esempio, l'autore narra della propria frustrazione nel cercare di capire da adolescente la teoria dell'"ottuplice via" di M. Gell-Mann (cioè, la cromodinamica quantistica) sui libri di fisica, e della gioia e sorpresa che provò il giorno in cui si rese conto (grazie ad un libro prestatogli da un professore di Matematica amico di suo padre) che tutto derivava in modo chiaro ed elegante dalla teoria delle rappresentazioni del gruppo di Lie $SU(3)$.

Personalmente, non ricordo di essere stato indirizzato verso i miei studi di Matematica da qualcuno. Di fatto, non trovavo entusiasmante nessuno dei miei professori di scuola media o superiore, e nessuno nella mia famiglia era particolarmente interessato alla disciplina. Tuttavia, nella libreria di mio zio, a casa di mia nonna materna, c'era questo libro "Enigmi e Giochi Matematici" di M. Gardner (solo il Volume 4, chissà perché) e per qualche motivo che ora non saprei dire cominciai a leggerlo, passandovi sopra ore intere. Potevo avere 11-12 anni e, per dirla con i Massimo Volume, "penso che in quel periodo la mia vita fosse tutta lì".

C'erano articoli sul paradosso dell'impiccagione imprevedibile, sul numero e, sui sezionamenti geometrici, sulle spirali, su Flatland, sulla curve ad ampiezza costante, sui giochi d'azzardo, sulle figure auto-similari, di cui ovviamente capivo ben poco. Ma erano scritti in un linguaggio chiaro e coinvolgente, che ammaliava il lettore e non lo lasciava più, lasciandogli intravvedere chissà quali territori meravigliosi da esplorare.

Per molto tempo fui anche convinto che Gardner fosse un matematico professionista, all'epoca non c'era Wikipedia a fornire ogni biografia con un click. Solo molti anni dopo, e con mia grande sorpresa, scoprì che era un abilissimo giornalista scientifico e divulgatore, con una preparazione non specialistica nella materia.

M. Gardner (fonte Wikipedia)

$n$-ple diofantee

Una $n$-pla diofantea è un insieme di $n$ numeri naturali tali che il prodotto di due distinti di essi più $1$ sia un quadrato. La prima quadrupla diofantea $\{1, \, 3,\, 8,\, 120\}$ venne trovata da Fermat. Infatti, abbiamo
\begin{equation*}
\begin{split}
1 \times 3+1 &= 2^2, \quad 1\times 8+1=3^2, \quad 1 \times 120+1 = 11^2, \\
3 \times 8+1 & = 5^2,  \quad 3 \times 120+1= 19^2, \quad 8 \times 120+1 = 31^2.
\end{split}
\end{equation*} La domanda che sorge naturale è quanto lunga possa essere una tale $n$-pla. È noto che vi sono famiglie infinite di quadruple diofantee, alcune delle quali possono essere parametrizzate usando polinomi oppure numeri di Fibonacci. Ad esempio, per ogni numero naturale $k$ si possono considerare le quadruple
\begin{equation*}
\begin{split}
& \{k, \; k+2, \; 4k+4, \; 16k^3+48k^2+44k+12\}, \\
& \{F_{k}, \; F_{k+2}, \; F_{k+4}, \; 4F_{2k+1}F_{2k+2}F_{2k+3} \}.
\end{split}
\end{equation*} Si sa inoltre che ogni tripla diofantea $\{a, \, b, \, c\}$ può essere estesa ad una quadrupla diofantea $\{a, \, b, \, c, \, d\}$. Infatti, ponendo $$ab+1=r^2, \quad ac+1=s^2, \quad bc+1=t^2,$$ basta prendere $d=a+b+c+2abc+2rst$. Non è noto al momento se tutte le quadruple diofantee siano di questa forma.

Un altro problema aperto è l'esistenza di quintuple diofantee. Nel 1969 Baker e Davenport dimostrarono che la quadrupla di Fermat $\{1, \, 3, \, 8, \, 120\}$ non può essere estesa ad una quintupla, e nel 2004 è stato dimostrato che non esistono sestuple diofantee, e che esistono al più un numero finito di quintuple.

L'idea per dimostrare la finitezza delle quintuple diofantee è di ricondursi ad un sistema di due equazioni di Pell, la cui soluzione è ottenuta per mezzo di frazioni continue. Applicando le stime di Baker sui logaritmi di numeri algebrici e alcuni risultati di Petho sui sistemi di congruenze si ottiene un upper bound per il numero delle soluzioni comuni alle due equazioni, e dunque per il numero delle quintuple.

Una generalizzazione delle $n$-ple diofantee è data dalla $n$-ple diofantee razionali, in cui i numeri, invece di essere interi, sono razionali. La prima quadrupla razionale venne considerata dallo stesso Diofanto: $$\{1/16, \, 33/16, \, 17/4, \, 105/16\},$$ e successivamente Eulero trovò famiglie infinite di esse. Circa due secoli dopo, Gibbs (1999) fornì il primo esempio di sestupla razionale $$\{11/192, \, 35/192, \, 155/27, \, 512/27, \, 1235/48, \, 180873/16 \}.$$ Nel 2016, A. Dujella e i suoi collaboratori costruirono famiglie infinite di sestuple razionali, mentre il problema dell'esistenza di una $7$-pla razionale è ancora aperto.

Si rimanda il lettore all'articolo di Dujella citato in bibliografia per maggiori dettagli sull'argomento, e in particolare su come il problema di determinare $n$-ple diofantee razionali possa essere ricondotto ad un problema che riguarda la determinazione di punti razionali su curve ellittiche.

Riferimenti:

A. Dujella: What is...a Diophantine m-tuple? Notices AMS 63 (7), 772–774 (2016)

Quadrati magici

Pochi temi di matematica ricreativa sono noti nella cultura popolare al pari dei quadrati magici. Come tutti sanno, un quadrato magico di ordine $n$ consiste nel disporre i numeri da $1$ a $n^2$ in una griglia quadrata $n \times n$, in modo tale che la somma dei numeri su ogni riga, colonna e diagonale del quadrato sia costante. Un semplice calcolo mostra che tale costante, detta costante magica del quadrato, è $(n^3+n)/2$.

Esistono quadrati magici di ogni ordine maggiore di $2$. Inoltre, dato un quadrato magico, è possibile crearne altri $7$ facendo agire su di esso il gruppo di simmetrie del quadrato, cioè il gruppo diedrale di ordine $8$, e due quadrati magici ottenuti in tal modo (cioè tali che si possa passare dall'uno all'altro per mezzo di una successione finita di rotazioni e riflessioni) sono considerati equivalenti.

Il numero di quadrati magici di ordine n, escludendo rotazioni e riflessioni, cresce rapidamente con l'ordine: per $n = 3, \, 4, \, 5$ si hanno $1, \, 880, \, 275305224$ quadrati magici distinti. Il numero preciso di quadrati magici di ordine 6 non è noto, ma è stimato essere dell'ordine di $1.8 \times 10^{19}$.

Lo studio dei quadrati magici si perde nella notte dei tempi. L'unico quadrato magico di ordine $3$ era già noto ai cinesi nel $600$ A.C., e da essi chiamato lo-shu. Esso è legato a molte leggende, ed è tradizionalmente usato come amuleto. Analogamente, quadrati magici di ordine 4 erano già noti ad arabi e indiani (uno di essi è ad esempio raffigurato nel tempio di Parshvanath) ma la rappresentazione più famosa di un tale quadrato, almeno nell'ambito dell'arte occidentale, è probabilmente quella contenuta nell'incisione Melencholia I di A. Dürer (1514).

Melencholia I

Si tratta di un'opera dal ricco simbolismo, mai completamente spiegato, anche se la maggior parte degli storici dell'arte vede in essa l'allegoria dello stato d'animo depresso del pensatore incapace di passare all'azione. Ciò è in accordo con gli strumenti scientifici e di carpenteria che giacciono inutilizzati ai piedi della figura meditabonda, mentre una sfera e un tetraedro (curiosamente troncato) sembrano suggerire che ogni applicazione pratica si fonda su una base matematica.

Il quadrato magico rappresentato in Melancholia I ha una simmetria aggiuntiva, in quanto ogni numero sommato al numero simmetricamente opposto rispetto al centro dà $17$. Un metodo incredibilmente semplice per scrivere un quadrato magico di questo tipo è il seguente: si scrivano in ordine i numeri da $1$ a $16$ in una griglia quadrata, e poi si invertano le due diagonali rispetto al centro. Il quadrato di Dürer è costruito in questo modo, con in più lo scambio delle due colonne intermedie in modo che al centro del lato in basso del quadrato si legga $1514$, l'anno in cui l'incisione fu realizzata.

Un tipo di quadrato magico ancora più stupefacente di quello simmetrico è il quadrato magico "diabolico", ("panmagic square", in inglese) ossia quello che è magico anche rispetto alle "diagonali spezzate", cioè le diagonali "ricostruibili" accostando due quadrati identici uno rispetto all'altro: per dare un'idea, nel caso di ordine $4$ le celle $2$, $12$, $15$, $5$ formano una diagonale spezzata. I quadrati magici diabolici esistono per tutti i valori di $n$ superiori a $3$, salvo che per quelli divisibili per $2$ ma non per $4$. Ad esempio, non ve n'è nessuno di ordine $6$.

Il numero di quadrati magici diabolici di un dato ordine è molto più basso di quello complessivo di tutti i quadrati magici: ad esempio, a meno di rotazioni e riflessioni vi sono solo $48$ quadrati diabolici di ordine $4$ e $3600$ di ordine $5$ (sequenza OEIS A027567).

Riferimenti:

[1] M.Gardner: Enigmi e Giochi Matematici, vol. 2
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square

Geometria tropicale

La cosiddetta Geometria Tropicale è una branca della geometria relativamente recente, così chiamata in nome dello scienziato brasiliano Imra Simpson, che lavorò a San Paolo e cominciò a per primo a lavorare sull'argomento, motivato da problemi di Informatica.

Lo scopo principale della Geometria Tropicale è quello di trasformare problemi di Geometria Algebrica in problemi di Geometria Combinatoria, attraverso un provedimento detto "tropicalizzazione" che associa ad una varietà algebrica definita su $\mathbb{C}$ un complesso poliedrale reale, che codifica alcune (ma non tutte) le proprietà della varietà complessa di partenza.

Più precisamente, si può pensare alla Geometria Tropicale come ad una Geometria Algebrica sul cosiddetto "semi-anello tropicale", che è definito come l'insieme $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$ con le due operazioni seguenti:
\begin{equation*}
\begin{split}
a \oplus b & = \min(a, \, b)\\
a \otimes b & = a + b.
\end{split}
\end{equation*} In tal modo si possono introdurre i corrispettivi tropicali di molte costruzioni classiche, e parlare di polinomi tropicali, ipersuperfici tropicali e varietà tropicali. Ad esempio, si verifica che il "luogo di zeri" di un polinomio tropicale è un oggetto lineare a tratti, che ha la struttura di un complesso poliedrale su $\mathbb{R}$.

Si dimostra inoltre che non tutti i complessi poliedrali su $\mathbb{R}$ si possono ottenere in tal modo, ma solo quelli che soddisfano alcune condizioni aggiuntive: infatti, le varietà tropicali sono esattamente i complessi poliedrali pesati, interi e bilanciati.

Il vantaggio della Geometria Tropicale è che si possono ridurre difficili problemi geometrico-algebrici a problemi di tipo combinatorio, che (almeno in linea di principio) possono essere risolti per mezzo di un calcolatore. Uno dei primi importanti risultati in Geometria Algebrica ottenuto con metodi tropicali è il Teorema di Mikhalkin (2005) che permette di calcolare il numero di curve algebriche di grado $d$ e genere $g$ passanti per $3d-1+g$ punti generali del piano contando (con opportuna molteplicità) il numero di corrispondenti curve tropicali.

Un altro (equivalente) approccio alla Geometria Tropicale è quello sviluppato da Kapranov, e che utilizza la teoria delle valutazioni. L'esempio da avere in mente è quello di una varietà algebrica $X$ contenuta nel toro $n$-dimensionale $(\mathbb{C}^*)^n$, e di cui si considera l'immagine $X_t$ tramite la mappa logaritmica
\begin{equation*}
\begin{split}
 \mathrm{Log}_t: (\mathbb{C}^*)^n & \to  \mathbb{R}^n \\
 (z_1, \ldots, z_n) & \mapsto  (\log_t(|z1|),...,\log_t(|zn|)).
\end{split}
\end{equation*} Il sottoinsieme $X_t$ di $\mathbb{R}^n$ viene chiamato un'ameba (il nome deriva dal fatto che quando $n=2$ la sua forma è tipicamente quella di un oggetto dendroide). Passando al limite di Hausdorff delle amebe $X_t$ per $t→ = \infty$ si ottiene un complesso poliedrale reale.

Ameba associata al polinomio $3z^2+5zw+w^3+1$.

Questa costruzione può essere generalizzata prendendo al posto di $\mathbb{C}$ un qualsiasi campo $\mathbb{K}$ con una valutazione non-archimedea, e considerando sottovarietà $X$ di $(\mathbb{K}^*)^n$ date dal luogo di zeri di un sistema di polinomi di Laurent nelle coordinate $x_1, \ldots, x_n$. In questo modo è possibile parlare di tropicalizzazioni di varietà algebriche definite su $\mathbb{K}$, e utilizzare i metodi della Geometria Tropicale per studiare ad esempio problemi che nascono nella teoria degli spazi di Berkovich (una generalizzazione degli spazi analitici nel contesto dei campi non archimedei).

Riferimenti:

N. Katz:What is...Tropical Geometry? Notices AMS 64 (4), 2017.

Il 17-mo Problema di Hilbert

Consideriamo un polinomio $f(x_1, \ldots, x_n)$ a coefficienti reali in $n $ indeterminate, ossia un elemento dell'anello $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$. Esso è detto "semi-definito positivo'' se $f(a_1, \ldots, a_n) \geq 0$ per ogni scelta di numeri reali $a_1, \ldots, a_n$.

Un esempio immediato di polinomio semi-definito positivo è un polinomio che si esprime come somma di quadrati di polinomi, ossia un polinomio $f$ della forma $$f=(f_1)^2+ \ldots +(f_k)^2.$$ È naturale chiedersi se questa sia la sola possibilità, e infatti tale domanda è (quasi) il contenuto del 17-mo problema presentato da Hilbert al Congresso Internazionale di Parigi.

(Hilbert, 1900): E' vero che ogni polinomio semi-definito positivo in $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$ è somma di quadrati in $\mathbb{R}(x_1, \ldots, x_n)$?

Si noti che l'enunciato richiede che il polinomio sia somma di quadrati di funzioni razionali, e non, come sembrerebbe più naturale, di quadrati di polinomi. Il motivo è che, già nel 1888, Hilbert era stato in grado di dimostrare che, sostituendo il campo delle funzioni razionali $\mathbb{R}(x_1, \ldots, x_n)$ con l'anello polinomiale $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$, la risposta al problema è necessariamente negativa. Tuttavia, la dimostrazione di Hilbert era puramente esistenziale, e non forniva alcun controesempio esplicito.

Il primo controesempio di tale tipo venne infatti fornito da Motzkin (e riconosciuto come tale da Taussky-Todd) più di 80 anni dopo:

(Motzkin, Taussky-Todd 1967): Il polinomio
$$1+x_1^2 x_2^4+ x_1^4 x_2^2-3x_1^2 x_2^2$$ è semi-definito positivo, ma non può essere scritto come somma di quadrati di polinomi in $\mathbb{R}[x_1, \, x_2]$.

Riguardo il 17-mo Problema di Hilbert, la questione è stata risolta in senso positivo da E. Artin:

(Artin, 1927): Ogni polinomio semi-definito positivo in $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$ è somma di quadrati in $\mathbb{R}(x_1, \ldots, x_n)$.

La dimostrazione originale di Artin è basata sulla teoria dei campi ordinati da lui sviluppata insieme a Schreier. Successivamente, usando tecniche completamente differenti, Pfister fu in grado di dimostrare un risultato più forte che fornisce anche un limite superiore al numero di funzioni razionali necessarie per scrivere f come somma di quadrati:

(Pfister, 1967): Ogni polinomio semi-definito positivo in $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$è somma di al più $2^n$ quadrati in $\mathbb{R}(x_1, \ldots, x_n)$.

Ci si può chiedere se il limite superiore di Pfister è ottimale, ossia se per ogni $n$ esiste un polinomio semi-definito positivo che non si può scrivere come somma di quadrati di $2^n-1$ funzioni razionali. Si sa che la risposta è affermativa quando $n=1$ (dato che $1+x_1^2$ non è un quadrato) e per $n=2$ (infatti, si dimostra che il polinomio di Motskin non è somma di tre quadrati in $\mathbb{R}[x_1, \, x_2]$).
Per $n \geq 3$, invece, il problema è completamente aperto.

Una chiara e dettagliata introduzione al 17-mo problema di Hilbert può trovarsi nell'ottimo survey di O. Benoist "Writing Positive Polynomials as Sums of (Few) Squares", che è stato fonte di ispirazione per questo post.

Il teorema della curva di Jordan

Una curva di Jordan è l'immagine di un'applicazione continua ed iniettiva della circonferenza $S^1$ in $\mathbb{R}^2$. Si può essere tentati di pensare una tale curva come un laccio chiuso, continuo e senza autointersezioni nel piano. Tuttavia, bisogna tenere presente che la definizione data sopra richiede solo la continuità della curva, non la differenziabilità, quindi in essa sono compresi anche oggetti frattali complicati come la curva di Koch (o "curva del fiocco di neve") che non ammettono derivata in nessun punto.

Il teorema della curva di Jordan afferma che

ogni curva di Jordan $C$ divide il piano in due regioni connesse, una delle quali è limitata (l'"interno" della curva) e l'altra è illimitata (l'"esterno"), tali che $C$ sia frontiera per entrambe le componenti.

Si tratta di un enunciato intuitivo ma la cui dimostrazione si è rivelata difficoltosa, anche per via dell'esistenza di curve "patologiche" come quella di Koch. Infatti, la dimostrazione data dallo stesso C. Jordan nel 1887 all'interno del suo famoso Course d'Analyse venne ritenuta insoddisfacente, e la prima dimostrazione che rispetta i moderni canoni di rigore è considerata quella fornita da O. Veblen nel 1905.

I trattamenti forniti nei libri di testo moderni utilizzano in genere i metodi della Topologia Algebrica, in particolare quelli omologici, che permettono di dimostrare anche l'analogo del teorema di Jordan in ogni dimensione, ovvero quello che si chiama il Teorema di Separazione dello Spazio.

Esso afferma che ogni immersione topologica della sfera $n$-dimensionale $S^n$ in $R^{n+1}$ identifica due componenti connesse, una limitata (l'"interno") e l'altra illimitata (l'"esterno"), tali che l'immagine di S^n costituisca la loro frontiera comune.

Un'altra generalizzazione del teorema della Curva di Jordan, detto Teorema di di Jordan–Schönflies, afferma che ogni curva di Jordan in $\mathbb{R}^2$ è equivalente all'immersione standard di $S^1$, cioè alla curva $x^2+y^2=1$, per mezzo di un omeomorfismo del piano.

Abbastanza sorprendentemente, e al contrario del teorema della Curva di Jordan, questo enunciato non ammette estensioni in dimensione superiore. Infatti esiste un'immersione patologica di $S^2$ in $\mathbb{R}^3$ (la cosiddetta "Alexander horned sphere", 1924) tale che il suo complementare non è una regione semplicemente connessa. Ciò implica che la costruzione di Alexander non può essere equivalente all'immersione standard di $S^2$ per mezzo di un omeomorfismo dello spazio, in quanto il complementare di $S^2$ in $\mathbb{R}^3$ è semplicemente connesso.

E' importante notare che l'immersione che fornisce la sfera di Alexander è solo continua, ma non differenziabile. Lo stesso Alexander dimostrò che il Teorema di di Jordan–Schönflies continua a valere in dimensione 3 se si considerano solo immersioni lisce (o lineari a tratti). Storicamente, questa fu una delle prime circostanze in cui venne notata la profonda differenza che intercorre fra il concetto di varietà topologica e quello di varietà differenziabile.

Squaring the square

È possibile suddividere un quadrato di lato intero in un numero finito $n >1$ di quadrati di lati interi fra loro tutti differenti?

Se si, diremo che si è ottenuto un "quadrato perfetto di ordine $n$". Nonostante la definizione ingannevolmente semplice, stabilire l'esistenza di quadrati pefetti si è rivelato un problema difficile e solo in tempi relativamente recenti è stato possibile darne una soluzione. Questo viene in genere chiamato "squaring the square problem", con evidente riferimento scherzoso al problema della quadratura del cerchio ("squaring the circle").

I primi a studiare sistematicamente la questione, fra il 1938 e il 1940, furono R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. H. Stone and W. T. Tutte, ricercatori dell'Università di Cambridge. In modo ingegnoso e sorprendente essi riuscirono a trasformare il problema originale in un problema equivalente di reti elettriche, che poi risolsero applicando le leggi di Kirchhoff.

Il primo quadrato perfetto ottenuto in tal modo aveva ordine $69$; successivamente, un perfezionamento della tecnica permise di ottenere quadrati di ordine $39$.
Più o meno nello stesso periodo, altri ricercatori (R. Sprague, T. H. Willcocks) lavorarono sul problema utilizzando, invece del "metodo teorico" delle reti elettriche, un "metodo empirico" consistente nel combinare fra loro in modo ingegnoso rettangoli perfetti di vario ordine. In particolare, Willcocks costruì in tal modo (1946) un quadrato perfetto di ordine $24$. Occorrerà attendere fino al 1982 per la dimostrazione, ottenuta da J. W. Duijvestijn, P. J. Federico and P. Leeuw, che il minimo ordine possibile per un quadrato perfetto è $21$. Per maggiori dettagli, il lettore può consultare i riferimenti bibliografici citati in fondo al post.

Un affascinante e divertente resoconto di come Brooks, Smith, Stone e Tutte arrivarono al loro metodo delle reti elettriche, scritto dallo stesso Tutte, si può trovare nel Volume 2 di "Enigmi e Giochi Matematici" di M. Gardner.
Nell'appendice all'articolo di Gardner è contenuta anche la dimostrazione (un argomento per assurdo sorprendentemente semplice) che l'analogo problema in dimensione superiore non ha soluzione. In altre parole, non è possibile suddividere un cubo in un numero finito di cubi i cui spigoli abbiano tutti lunghezza differente. La stessa dimostrazione si applica a tutti gli ipercubi di dimensione maggiore di $2$.

Un quadrato perfetto di lato $4205$ e ordine $55$

Riferimenti:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Squaring_the_square

[2] http://mathworld.wolfram.com/PerfectSquareDissection.html
[3] Brooks, R. L.; Smith, C. A. B.; Stone, A. H.; Tutte, W. T.: "The dissection of rectangles into squares". Duke Math. J. 7 (1940), 312–340.

La bottiglia di Klein

Three jolly sailors from Blaydon-on-Tyne
They went to sea in a bottle by Klein.
Since the sea was entirely inside the hull
The scenery seen was exceedingly dull.

Se si identificano a due a due e nella stessa direzione i lati opposti di un quadrato si ottiene un toro. Se una delle due coppie di lati viene identificata in senso opposto, si ottiene invece una superficie compatta e senza bordo che indichiamo con $K$ ed è nota come Bottiglia di Klein ("Kleinsche Flasche", in tedesco), dal nome del matematico Felix Klein che per primo la descrisse nel 1882.
Esplicitamente, la bottiglia di Klein è quindi lo spazio di identificazione ottenuto dal quadrato $[-1, 1] \times  [-1, 1]$ tramite la relazione d'equivalenza $(-1,  \, y) \simeq (1, y)$ e $(x, \, -1) \simeq (-x, \, 1)$.

La bottiglia di Klein costruita come spazio di identificazione

Al contrario del toro e come il nastro di Moebius, la bottiglia di Klein è una superficie non orientabile. Tuttavia, contrariamente al nastro di Moebius, non è possibile immergere la bottiglia di Klein in $\mathbb{R}^3$ (ma è possibile immergerla in $\mathbb{R}^4$). Infatti, ogni realizzazione della bottiglia di Klein in $\mathbb{R}^3$ ha autointersezioni: la superficie è senza bordo ma ad una sola faccia, di modo che non ha senso parlare di "interno" ed "esterno" per essa.
Quindi una nave a forma di bottiglia di Klein non sarebbe molto utile per attraversare il mare, in quanto esso sarebbe contemporaneamente "fuori e dentro" lo scafo (come sperimentato dai tre allegri marinai di Blaydon-on-Tyne del celebre limerick citato sopra).

Una applicazione standard del Teorema di Seifert-Van Kampen mostra che il gruppo fondamentale $\pi_1(K)$ ha due generatori $a, \, b$ soggetti all'unica relazione $aba^{-1}b=1$, dunque si tratta del prodotto semidiretto di due copie di $\mathbb{Z}$ (scritte in notazione moltiplicativa) associato all'automorfismo $b \mapsto b^{-1}$. In particolare esso è infinito e non abeliano.

Quozientando per il sottogruppo dei commutatori si ottiene il gruppo generato da $a,\, b$ con l'unica relazione $b^2 = 1$, e ciò implica che $H_1(K, \, \mathbb{Z})$ è isomorfo al prodotto diretto $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$. Quindi $K$ fornisce un semplice esempio di spazio topologico con gruppo fondamentale non abeliano e avente torsione nel primo gruppo di omologia.

Il sottogruppo $G$ generato da $b, \,a^2$ ha indice $2$ in $\pi_1(K)$, dunque esso corrisponde ad un rivestimento topologico di grado $2$ della bottiglia di Klein. Osserviamo che $ab=(b^{-1})a$ implica $a(b^{-1})=ba$, pertanto
$$a^2b = a(ab) = a(b^{-1})a = baa= ba^2.$$ Ciò vuol dire che $G$ è un gruppo libero abeliano con due generatori, dunque isomorfo a $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$, che è il gruppo fondamentale del toro $T = S^1 \times S^1$.

Il rivestimento doppio $T \to  K$ determinato algebricamente come sopra si può interpretare geometricamente osservando che affiancando due domini fondamentali speculari di una bottiglia di Klein si ottiene il dominio fondamentale di un toro. Questa costruzione mostra anche che il rivestimento universale di $K$ coincide con quello di $T$, cioè è omeomorfo al piano $\mathbb{R}^2$.

Anche se la bottiglia di Klein non ha né interno né esterno, è in realtà possibile bere da essa (o meglio da un suo modello con auto-intersezione in $\mathbb{R}^3$). Modelli di tazze costruite a partire da bottiglie di Klein si trovano ad esempio qui.

Modello di bottiglia di Klein realizzata in vetro soffiato (fonte: ACME Klein bottle)

Inversi destri e sinistri

Quando si segue (o si tiene) un corso di Algebra Lineare, si arriva ad un certo punto all'importante concetto di matrice invertibile. La definizione data in genere è che una matrice quadrata $A$ è invertibile se esiste una matrice $B$ tale che $AB = BA =I$. Dopodiché, si dice che è sufficiente in realtà testare una sola delle due condizioni, dato che l'altra è conseguenza di essa, ma la giustificazione di quest'ultimo fatto viene omessa in molti libri di testo.

Il motivo è che in effetti non è possibile dedurre formalmente dall'eguaglianza $AB=I$  l'eguaglianza $BA=I$, dato che esistono controesempi in opportune algebre di dimensione infinita (vedi sotto). Dunque occorre utilizzare qualcosa di specifico della teoria delle matrici (come, ad esempio, il determinante).

In generale, questa situazione mostra che ha senso chiedersi in un contesto più astratto quando esistano inverso destro e sinistro di un elemento in un anello, e se essi coincidono.
Supponiamo dunque di essere in un anello con unità $R$, e sia $x$ un suo elemento non nullo. Diciamo che $a$ è un inverso sinistro di $x$ se $ax =1$, e che $b$ è un inverso destro di $x$ se $xb=1$. Un inverso bilatero (o semplicemente inverso) di $x$ è un elemento tale che è sia inverso destro che sinistro, ossia tale che $ax=xa=1$. Il seguente semplice fatto è ben noto.

Proposizione 1. (1) Sia $R$ un dominio d'integrità. Allora inverso destro e sinistro di $x$, se esistono, sono unici.
(2) In qualsiasi anello unitario $R$, se inverso destro e sinistro esistono entrambi allora essi coincidono e pertanto esiste un inverso di $x$, che è necessariamente unico.

Dimostrazione. (1) Se $a$ e $a'$ sono entrambi inversi sinistri di $x$, allora $ax=a'x=1$, quindi $(a-a')x=0$, e siccome $x$ è non nullo e $R$ è un dominio segue $a=a'$. La dimostrazione per l'inverso destro è analoga.
(2) Supponiamo che $ax = xb=1$. Allora

$$a= a \cdot 1 = a(xb) = (ax)b = 1 \cdot b = b. $$

$\square$

Come conseguenza immediata, abbiamo il seguente

Corollario. Ogni dominio d'integrità finito $R$ è un corpo (e quindi un campo, per il Teorema di Wedderburn).

Dimostrazione. Scegliamo un qualsiasi elemento non nullo $x \in R$, e consideriamo la moltiplicazione a destra $a \mapsto ax$. Essa è un endomorfismo di $R$  iniettivo (dato che $R$ è un dominio), dunque anche suriettivo poiché R è finito. Segue che $1$ è nell'immagine della moltiplicazione a destra per $x$, in altre parole l'elemento $x$ possiede un inverso sinistro. Usando la moltiplicazione a sinistra, si mostra allo stesso modo che a ha un inverso destro. Allora dalla Proposizione 1 segue che  $x$ è invertibile, dunque $R$  è un corpo.

$\square$

Nel caso di algebre finito-dimensionali su un campo (o, più in generale, di anelli left o right-artinian, non necessariamente commutativi), l'esistenza dell'inverso destro implica quella dell'inverso sinistro e viceversa. Ciò include ovviamente come caso particolare quello delle matrici su un campo.

Proposizione 2. Sia $R$ una $\mathbb{K}$-algebra finito-dimensionale, e sia $x$ un elemento non nullo di $R$. Se $x$ possiede un inverso sinistro, allora esso è anche inverso destro (e dunque $x$ è invertibile).

Dimostrazione. Supponiamo $ax=1$, e consideriamo i sottospazi $(x^k)R$. Essi formano una catena discendente $$R \supseteq xR \supseteq \ldots \supseteq (x^{k-1})R \supseteq (x^k)R \supseteq (x^{k+1})R \supseteq \ldots,$$ quindi, siccome $R$ è finito dimensionale, tale catena diventa stazionaria. Allora esiste $k$ tale che $(x^k)R = (x^{k+1})R$, da cui in particolare esiste b tale che $x^k = x^{k+1}b$. Moltiplicando a sinistra per $a^k$ otteniamo $1 = xb$, dunque $x$ ha un inverso destro, che coincide con quello sinistro per la Proposizione 1.

$\square$

Concludiamo con un esempio di anello contenente un elemento che ha inverso sinistro ma non inverso destro. Si consideri l'algebra infinito-dimensionale delle successioni reali $(a_0,  \,a_1, \,a_2, \ldots)$ e consideriamo l'operatore di shift
$$X \colon  (a_0, \, a_1, \,a_2, \ldots) \mapsto (0,\, a_0, a_1, a_2, \ldots).$$ Allora l'operatore lineare $A$ dato da $A(a_0, \, a_1, \, a_2, \ldots) = (a_1,  \, a_2, \,  a_3, \ldots)$ verifica $AX = \mathrm{Id}$. Tuttavia $XA$ è diverso dall'identità, infatti
\begin{equation*}
\begin{split}
(AX)(a_0,  \,a_1, \,a_2, \ldots) & = A(0, \,a_0,  \,a_1, \,a_2, \ldots)= (a_0,  \,a_1, \,a_2, \ldots) \\
(XA)(a_0,  \, a_1, \,a_2, \ldots) & = X(a_1, \,a_2, \, a_3, \, \ldots) = (0,\, a_1,\, a_2, \,a_3, \ldots).
\end{split}
\end{equation*} Ciò mostra che $X$ non ha nessun inverso destro, dato che se esso esistesse dovrebbe coincidere con l'inverso sinistro $A$ per quanto visto sopra.

Il lettore che volesse approfondire l'argomento di questo post può guardare l'interessante post su MathStackExchange "If $AB=I$ then $BA=I$".

Impacchettamenti di sfere

Un classico problema è quello di determinare il modo di disporre un insieme di (iper)sfere congruenti nello spazio euclideo $n$-dimensionale in modo che "resti vuoto meno spazio possibile". In termini tecnici, si richiede che sia raggiunta la massima densità possibile, dove la "densità" è opportunamente definita in modo che il massimo esista. Si tratta quindi di trovare in ogni dimensione un impacchettamento di sfere ("sphere packing", in inglese) ottimale.

A parte l'interesse teorico del problema, vi sono importanti applicazioni degli impacchettamenti di sfere nelle scienze applicate. Ad esempio, nello studio dei materiali granulari (in cui i centri delle sfere rappresentano atomi o molecole) e, in modo più sorprendente, in quello delle telecomunicazioni. Infatti, i canali di comunicazione radio possono essere modellati utilizzando spazi vettoriali reali di dimensione alta, e gli impacchettamenti ottimali forniscono in modo automatico codici di correzione di errori in tali spazi, permettendo di minimizzare dispersione del segnale e rumore di fondo. Per tali motivi, non sorprende che lo studio degli impacchettamenti ottimali sia un attivo campo di ricerca. Nonostante ciò, la nostra conoscenza in questo ambito è ancora molto limitata.

In dimensione $2$, Thue ha dimostrato che vi è un unico impacchettamento di cerchi ottimale, in cui i centri sono ai vertici di esagoni regolari. La densità è $\pi/\sqrt{12}$
In dimensione $3$, il problema è noto come "cannonball problem". Un impacchettamento ottimale è dato dalla tipica disposizione delle arance sul bancone del fruttivendolo, con una densità di $\pi/\sqrt{18}$. Il fatto che tale disposizione sia ottimale era noto come Congettura di Keplero, ed è stato dimostrato da Hales nel 2005, in un difficile lavoro su Annals of Mathematics che ha richiesto anche l'uso del calcolatore.

Da dimensione $4$ in poi, il problema diventa enormemente difficile, per vari motivi. Innanzitutto, per quanto ne sappiamo, sembra che l'eventuale conoscenza di una soluzione in dimensione $n$ dica poco riguardo ad una soluzione in dimensione $n-1$ o $n+1$. Inoltre, non è affatto chiaro che una soluzione ottimale debba essere necessariamente periodica (come accade nel caso di dimensione $2$ e $3$), ossia invariante per traslazione rispetto all'azione di un opportuno reticolo in $\mathbb{R}^n$.

Per tale motivo, ha destato grande scalpore nei mesi passati la soluzione del problema di impacchettamento in dimensione $8$ (ottenuta da M. Viazovska) e in dimensione $24$ (ottenuta dalla stessa Viazovska assieme a H. Cohn, A. Kumar, S.D. Miller e D. Radchenko). In entrambi i casi esiste una soluzione periodica, invariante tramite l'azione del reticolo $E_8$ (nel caso $\mathbb{R}^8$) e del reticolo di Leech (nel caso $\mathbb{R}^{24}$). Le densità sono, rispettivamente, $\pi^4/384$ e $\pi^{12}/(12)!$.

Le dimostrazioni di Viazovska e i suoi collaboratori utilizzano un risultato di Cohn ed Elkies, che riduce il problema alla determinazione di un'opportuna funzione modulare. Essa permette a sua volta di costruire una funzione radialmente simmetrica f con particolari proprietà di annullamento sul reticolo, e la formula di Poisson applicata ad f permette infine di stimare la densità dell'impacchettamento associato al reticolo, dimostrandone l'ottimalità.

Per quanto sorprendente ed importante, questo tipo di dimostrazione non può essere adattata ad altre dimensioni, dato che sia il reticolo $E_8$ che quello di Leech sono eccezionali, ossia esistono solo in dimensione $8$ e $24$. Infatti, si pensa che al di là dei casi noti (dimensione $2, \, 3, \, 8,\, 24$) la soluzione al problema di impacchettamento in dimensione $n$ debba essere ottenuta tramite una configurazione non periodica. Tuttavia, la questione è al momento completamente aperta.

Les Mathématiques Modernes

All'inizio degli anni '60 del secolo scorso, il panorama della Matematica era stato profondamente rivoluzionato dall'opera del gruppo Bourbaki. Il nuovo approccio alla disciplina, basato su rigore, astrazione e formalismo, aveva mietuto successi spettacolari, soprattutto per quanto riguarda l'Algebra Commutativa e Omologica, la Geometria Algebrica, la Teoria di Lie. Molti difficili problemi, la cui soluzione (o addirittura la cui corretta formulazione) era prima avvolta nell'oscurità, vennero risolti, e molti altri venivano affrontati in un fiorire di idee e concetti che sembrava inesauribile.

L'influenza del gruppo Bourbaki sulla matematica francese (e non solo) fu tale che a metà degli anni '60 si decise di sperimentare l'introduzione di una didattica di stampo bourbakista nelle scuole primarie e nei licei. Fu quella che venne chiamata "La nuova matematica" ("Les Mathématiques Modernes", in francese). Una commissione, presieduta da A. Lichnerowicz e comprendente molti membri di Bourbaki, preparò i nuovi programmi, che prevedevano una esposizione precoce (già alle elementari) ai concetti di insieme, relazione e struttura algebrica. L'insegnamento della geometria venne completamente svincolato dall'intuizione, senza più riferimento a figure e diagrammi, e basata solo sullo studio assiomatico degli spazi vettoriali e affini. Tutto ciò può essere riassunto dalla famosa frase provocatoria di J. Dieudonné "A bas Euclide!" ("abbasso Euclide!").

Successi di Bourbaki a parte, il contesto storico rilevante era quello della Guerra Fredda. Il lancio degli Sputnik da parte dell'URSS aveva traumatizzato il Blocco Occidentale, e si sperava che una completa rivoluzione nei programmi di insegnamento delle scienze (e della matematica in particolare) avrebbe potuto arginare quello che alcuni giornali avevano chiamato una "Pearl-Harbour tecnologica".

Le cose, come è noto, non andarono come si sperava. Le Mathématiques Modernes vennero accolte con scetticismo e ostilità sia dagli insegnanti, impreparati a spiegare argomenti che spesso non comprendevano pienamente, che dai genitori, che improvvisamente si ritrovarono incapaci di aiutare i figli (anche molto piccoli!) nei compiti a casa. Gli allievi, da parte loro, non riuscirono mai a digerire il rigido sistema burbakista "definizione-teorema-corollario", che poteva funzionare per i (pochi) studenti molto dotati in matematica, ma risultava ostico e incomprensibile per gli altri.
La mancanza nei libri di testo di figure che potessero aiutare nei ragionamenti e lo scarso peso dato alle applicazioni della matematica nella vita reale fecero il resto. Alcuni ridicolizzarono i nuovi programmi, facendo notare come molti studenti "sapevano enunciare la proprietà commutativa nei gruppi astratti, ma poi non conoscevano le tabelline".

Anche M. Kline, nel suo saggio critico "Why Johnny Can't Add: the Failure of the New Math.", affermò che l'astrazione dovrebbe essere l'ultimo stadio nello sviluppo matematico, non certo il primo, e che la sua introduzione troppo precoce è controproducente, almeno per la grande maggioranza degli alunni.
Come se ciò non bastasse, nel turbolento contesto sociale del '68 e della contestazione i nuovi metodi vennero bollati immediatamente come "borghesi" ed "élitisti", e quindi osteggiati da una larga fetta degli intellettuali di sinistra.

La Commissione Lichnerowicz lavorò fino al 1973, anno in cui il presidente diede le dimissioni. Fu sostanzialmente la fine per le Mathématiques Modernes. A partire dagli anni '80, la geometria euclidea tornò ad avere il suo posto nei programmi di insegnamento dei Licei francesi, ma l'acceso dibattito nato con questa sperimentazione didattica continua ancora oggi.

Il paradosso di Banach-Tarski

Qual è un anagramma di Banach-Tarski?
Banach-Tarski Banach-Tarski.

Nel 1924, S. Banach and A. Tarski, ispirandosi a precedenti lavori di Vitali ed Hausdorff, dimostrarono il seguente sorprendente risultato:

Data la palla unitaria $\mathbb{B}^2 \subset \mathbb{R}^3$, è possibile suddividerla in un numero finito di sottoinsiemi che, ricomposti, danno luogo a due copie di $\mathbb{B}^2$.

In altre parole, la palla è equiscomponibile con due copie di se stessa. Il fatto è paradossale, in quanto la nostra intuizione geometrica suggerisce che due solidi equiscomponibili debbano avere lo stesso volume. Ciò è tuttavia vero solo se, per i sottoinsiemi che danno la scomposizione, il concetto di volume è ben definito. Infatti, i sottoinsiemi che compaiono nella dimostrazione di Banach-Tarski sono non misurabili (nel senso di Lebesgue), quindi non sono "solidi" nel senso usuale del termine, ma "aggregati di punti" per l'esistenza dei quali si può dare solo una dimostrazione non costruttiva (in particolare, non si può sperare di diventare miliardari duplicando matematicamente pepite d'oro). Il numero minimo di pezzi richiesti per la costruzione è cinque.

Esistono anche forme differenti del paradosso che mostrano che una palla di raggio $r_1$ e una di raggio $r_2$ sono sempre equiscomponibili; in particolare un pisello e il Sole sono equiscomponibili (per cui questa versione del paradosso è chiamata talvolta "the pea and the Sun paradox").
Non vi è nulla di particolare nella palla che gioca un ruolo in questo risultato. Si dimostra infatti che "paradoxical decompositions" esistono per ogni sottoinsieme limitato $B \subset \mathbb{R}^n$, con $n \geq 3$ 3, avente interno non vuoto.

Il paradosso di Banach-Tarki, invece, non sussiste in dimensione $1$ e $2$. Ciò dipende dal fatto che il gruppo delle isometrie euclidee in dimensione $1$ e $2$ è risolubile, mentre in dimensione maggiore o uguale a $3$ esso contiene una copia del gruppo libero su due generatori. Fu proprio l'analisi dei gruppi di isometrie che ammettono paradoxical decompositions che portò J. von Neumann a formulare nel 1929 la sua teoria dei gruppi amenabili.

Siccome la costruzione à la Vitali di sottoinsiemi non misurabili secondo Lebesgue richiede l'Assioma di Scelta, si può pensare che ciò sia vero anche per Banach-Tarski. Tuttavia, nel 1991 è stato dimostrato che il paradosso, seppur più forte di ZF, non richiede ZFC nella sua forma forte. Infatti, affinché esso sussista è sufficiente una versione debole dell'assioma di scelta, nota come ultrafilter lemma.

"Mathematical cranks" di Underwood Dudley

Molti matematici professionisti (compreso il sottoscritto) si imbattono prima o poi nella figura del "mathematical crank". Si tratta di un individuo più o meno autodidatta, ma in ogni caso con un modesto background matematico, che ricade in una delle seguenti tipologie:

• crede di aver dimostrato qualcosa di impossibile (come trisecare l'angolo, quadrare il cerchio, duplicare il cubo, ricavare il V postulato di Euclide dai primi quattro);
• crede di aver dimostrato qualcosa che non ha dimostrato (l'Ultimo Teorema di Fermat con metodi elementari, il Teorema dei Quattro Colori senza computer, l'Ipotesi di Riemann);
• ha una visione della matematica "eccentrica" o "spiritualista" (crede ad esempio in una numerologia di stampo pitagorico o cabalistico, un po' come il protagonista del film "Pi: il teorema del delirio" di D. Aronofski, oppure applica i risultati di incompletezza di Gödel alla religione, e così via). 

In ogni caso, il mathematical crank si distingue dal semplice amateur per la sua pervicacia nel non ammettere i propri errori, spesso dovuta anche alla sua incapacità di comprenderli. Il professionista che prova a confrontarsi con questa tipologia di persone si trova davanti ad un muro frustrante di difficoltà comunicativa, acuito dal fatto che molte di loro soffrono di una distorsione percettiva della realtà che li porta a sopravvalutare le proprie (limitate) abilità e a ritenersi, a torto, degli esperti. Come corollario, essi uniscono una marcata incompetenza ad una notevole supponenza (è il ben noto effetto Dunning-Kruger).

Il libro "Mathematical Cranks" (1992) di Underwood Dudley offre una gustosa, e a volte inquietante, panoramica di mathematical cranks di vario tipo. Si passa da trisettori, quadratori e duplicatori assortiti fino ad arrivare a gente che crede che nella distribuzione dei numeri primi si nasconda il segreto dell'Universo, o che vi sia una cospirazione mondiale per nascondere fantomatici algoritmi lineari in grado di risolvere ogni problema.

Una lettura interessante (ed utile per chi voglia evitare di impelagarsi in inutili discussioni), che spiega anche perché nel 1897 lo Stato dell'Indiana discusse una legge che autorizzava ad utilizzare come valore per Pi greco il numero intero $3$ (!).

Il teorema dei quattro quadrati di Lagrange

Il teorema dei due quadrati di Fermat (discusso in un precedente post) afferma che un numero primo è somma di due quadrati se e solo se è della forma $4k+1$. Viene dunque naturale chiedersi quale sia (se esiste) il minimo numero naturale $N_2$ tale che ogni $n \in \mathbb{N}$ possa scriversi come somma di al più $N_2$ quadrati (questo è il primo caso del cosiddetto problema di Waring).

Nel 1770, J. L. Lagrange dimostrò il seguente sorprendente risultato, che implica $N_2 \leq 4$.

Teorema. Ogni numero naturale $n$ è somma di (al più) quattro quadrati.

Grazie all'identità dei quattro quadrati di Eulero, è sufficiente dimostrare l'enunciato per $n$ numero primo. La dimostrazione originaria di Lagrange è nello spirito della classica discesa infinita di Fermat; le dimostrazioni moderne che si trovano nei libri di testo utilizzano invece algoritmi di divisione generalizzati, nello spirito dell'algoritmo di divisione euclidea in $\mathbb{Z}[i]$ utlizzato da Dedekind per dimostrare il teorema dei due quadrati di Fermat.

J. L. Lagrange (fonte: Wikipedia)

Più precisamente, fu A. Hurwitz che a fine '800 si rese conto che un algoritmo di divisione euclidea nell'anello dei quaternioni interi
\begin{equation*}
\begin{split}
\mathbb{Z}[i, \, j, \, k]&= \{a+bi+cj+dk \, \, | \, \, a, \, b, \, c, \, d \in \mathbb{Z} \} \\
i^2 &= j^2 = k^2 = ijk = -1
\end{split}
\end{equation*} portava ad una dimostrazione del teorema di Lagrange. L'approccio è tecnicamente più complicato che nel caso di $\mathbb{Z}[i]$, perchè $\mathbb{Z}[i, \, j, \, k]$ è un anello non commutativo. Per questo motivo, l'algoritmo di divisione viene implementato non in $\mathbb{Z}[i, \, j, \, k]$, dove non è possibile ottenere una stima efficiente del resto, ma in quello che è oggi chiamato l'anello degli interi di Hurwitz $\mathbb{Z}[i, \, j, \, k, \, w]$, ossia il sottoanello generato da $\mathbb{Z}[i, \, j, \, k]$ e dall'elemento semi-intero $w=\frac{1}{2}(1+i+j+k)$.

Il punto cruciale della dimostrazione di Hurwitz è far vedere che ogni primo reale si fattorizza in modo non banale in $\mathbb{Z}[i, \, j, \, k, \, w]$, esattamente come il punto cruciale della dimostrazione di Dedekind era far vedere che ogni primo congruo a $1$ (mod $4$) si fattorizza non banalmente in $\mathbb{Z}[i]$.

A. Hurwitz (fonte: Wikipedia)

Un'interessante domanda è se tutti gli interi si possano scrivere come somma di tre quadrati. La risposta è negativa, come è facile convincersi osservando che un quadrato può essere congruo solo a $0$, $1$, $4$ (mod 8). Da ciò segue, ad esempio, che nessun numero congruo a $7$ (mod $8$) è somma di tre quadrati. Quindi si ha effettivamente $N_2=4$.

Più precisamente, nel $1798$ Legendre dimostrò che un numero è esprimibile come somma di tre quadrati se e solo se non è della forma $4^k(8m + 7)$. Non si conosce, al momento, nessuna dimostrazione veramente elementare di questo risultato.

Il Teorema di Feit-Thompson

Un gruppo finito si dice risolubile se possiede una serie di composizione in cui tutti i fattori sono ciclici di ordine primo. Per il teorema di Jordan-Hölder, se esiste una serie di composizione avente questa proprietà allora tutte le serie di composizione ce l'hanno. Il nome risolubile deriva dal fatto che un polinomio su $\mathbb{Q}$ è risolubile per radicali se e solo se il corrispondente gruppo di Galois è risolubile nel senso detto sopra.

Esempi di gruppi finiti risolubili sono i gruppi abeliani, i $p$-gruppi e più in generale i gruppi nilpotenti. Il gruppo simmetrico $S_n$ è non risolubile per $n\geq 5$, da cui l'impossibilità di risolvere per radicali l'equazione generale di grado $n \geq 5$ (teorema di Abel-Ruffini).

Un fondamentale risultato dimostrato nel 1963 da W. Feit e J. Thompson asserisce che

Ogni gruppo finito di ordine dispari è risolubile.

Nonostante la semplicità dell'enunciato, la dimostrazione di Feit e Thompson richiede un argomento per assurdo estremamente complesso che occupa un intero fascicolo (circa 250 pagine) del Pacific Journal of Mathematics.

Il teorema di Feit-Thompson è un risultato cruciale nell'ambito della classificazione dei gruppi semplici finiti, e la sua rilevanza è mostrata dal fatto che, anche grazie ad esso, a Thompson nel 1970 venne assegnata la medaglia Fields. Non è dunque sorprendente che molti teorici dei gruppi abbiano tentato di semplificarne la dimostrazione originale, finora senza grande successo.

È di oggi la notizia (riportata dal Corriere della Sera nel solito modo in cui si riportano in genere argomenti di matematica, cioè senza fare capire nulla) che Sir Micheal Atiyah asserisce di possedere una dimostrazione di Feit-Thompson in sole 12 pagine. Atiyah ha 88 anni, non è uno specialista di teoria dei gruppi ma è comunque uno dei matematici più famosi al mondo, avendo vinto la medaglia Fields nel 1966 per i suoi fondamentali contributi in K-teoria, come il celebre Teorema dell'Indice di Atiyah-Singer.

Ovviamente la correttezza della dimostrazione di Atiyah dovrà essere confermata (o smentita) attraverso l'usuale processo di peer-review, che data l'importanza del risultato sarà sicuramente molto scrupoloso. Staremo a vedere.

Il bacio preciso

Siano dato tre distinte circonferenze $C_1, \, C_2, \, C_3$ nel piano, fra di loro mutualmente tangenti. Allora esistono esattamente due circonferenze $A$, $B$ che sono contemporaneamente tangenti alle $C_i$.

I raggi di $A$ e $B$ (o meglio, le loro curvature) sono legate a quelli

delle $C_i$ da un'equazione quadratica, che è nota come Teorema di Descartes. In questo caso il problema di Apollonio per le $C_i$ ha esattamente cinque soluzioni distinte (invece di $8$ come nel caso generale): le tre circonferenze $C_i$, contate ciascuna con molteplicità $2$, e le due circonferenze $A, \, B$.

Le circonferenze A e B sono anche dette circonferenze di Soddy. Ciò è dovuto al fatto che il risultato di Descartes fu riscoperto nel 1936 da Frederick Soddy, che lo pubblicò nella prestigiosa rivista Nature sotto forma di una poesia intitolata "The Kiss Precise":

For pairs of lips to kiss maybe
Involves no trigonometry.
'Tis not so when four circles kiss
Each one the other three.
To bring this off the four must be
As three in one or one in three.
If one in three, beyond a doubt
Each gets three kisses from without.
If three in one, then is that one
Thrice kissed internally.
Four circles to the kissing come.
The smaller are the benter.
The bend is just the inverse of
The distance from the center.
Though their intrigue left Euclid dumb
There's now no need for rule of thumb.
Since zero bend's a dead straight line
And concave bends have minus sign,
The sum of the squares of all four bends
Is half the square of their sum.

La prima strofa descrive le tre circonferenze $C_i$, mentre la seconda descrive le due circonferenze $A$, $B$ e la formula di Descartes per determinarne i raggi: date quattro circonferenze fra loro mutualmente tangenti, la somma dei quadrati delle curvature è metà del quadrato della loro somma.

Il Teorema di Morley

Nel 1899 F. Morley dimostrò il seguente sorprendente

Teorema. I tre punti di intersezione delle tre coppie di trisettrici adiacenti di un triangolo qualsiasi formano sempre un triangolo equilatero.

Si tratta di un enunciato di grande bellezza e semplicità, di cui si conoscono varie dimostrazioni, alcune delle quali piuttosto intricate. Una dimostrazione elementare è stata data da J. Conway (1967), e una puramente algebrica più di recente da A. Connes (1998). Per una panoramica sull'argomento si può leggere la corrispondente pagina Wikipedia e i riferimenti bibliografici in essa contenuti.

Il fatto che tale risultato fosse (per quanto ne sappiamo) ignoto ai geometri dell'antichità, che conoscevano invece molti risultati sulle bisettrici dei triangoli,  è dovuto probabilmente alla loro reticenza a trattare problemi che non fossero in grado di risolvere con riga e compasso. 

Di fatto, è oggi ben noto che la trisezione di un angolo generico $\theta$ è equivalente alla costruzione di una radice $x=\cos(\theta/3)$ del polinomio di terzo grado
\begin{equation*}
4x^3-3x- \cos \theta,
\end{equation*} che risulta irriducibile sull'estensione di campi $\mathbb{Q}(\cos \theta)$. Da ciò segue l'impossibilità della trisezione di un angolo generico con gli strumenti classici, dato che il grado del polinomio minimo di un numero costruibile è necessariamente una potenza di $2$.